¿Què es una axioma?

Answer 1

En epistemología un axioma es una "verdad evidente" sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual se construyen otros conocimientos. No todos los epistemólogos están de acuerdo que los axiomas existan de esa manera. En matemáticas un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemáticas se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.


Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que cualquier sistema axiomático, por definido y consistente que sea, posee serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable ¡y por tanto P es verdadero! Este teorema de Gödel a menudo ha sido interpretado en un sentido pesimista, como una especie de limitación esencial del conocimiento humano o algo así (porque implícitamente se presupone que nuestro razonamiento es como una máquina). Pero ese no es el caso, debe notarse que realmente Gödel nos hace ver que tal enunciado P es verdadero, así que el resultado de Gödel realmente muestra que ningún sistema axiomático consistente (entendido como máquina de deducir) agota la capacidad de demostración de la razón humana. Su sentido es que ningún ordenador ni proceso meramente mecánico pude emular el raciocinio humano, que nuestro espíritu no es lo que hoy en día entendemos como máquina.

Etimología
La palabra axioma viene griego αξιωμα (axioma) que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez viene de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filosofos griegos un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

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Matemáticas
En el campo de la lógica matemática, se hace una clara distinción entre las dos nociones de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.


Axiomas Lógicos
Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier universo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje.
Axiomas no-lógicos
Los Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro nombre para los axiomas no-lógicos es postulado.

Casi cualquier teoría matemática moderna se basa en un conjunto de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.

En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas no-lógicos simplemente axiomas, esto no significa que sean verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en algunos grupos, una operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado introduciendo un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este axioma se puede desarrollar la teoría de grupos e incluso se puede tomar su negación como un axioma para estudiar los grupos no-conmutativos.

Un axioma es el elemento básico de un sistema de lógica formal y junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.

Answer 2

De la Real Academia Española

axioma.
(Del lat. axiōma, y este del gr. ἀξίωμα).
1. m. Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración.
2. m. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.

Answer 3

axioma

(del gr. axioma, lo que parece o se estima como justo)

substantivo masc

Proposición tan evidente, que no necesita demostración.

Answer 4

"el experimento lastimado rehuye las espinas" primer axioma de la humanidad según el diario de Adán y Eva de M. Twain

Answer 5

En epistemología un axioma es una "verdad evidente" sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual se construyen otros conocimientos. No todos los epistemólogos están de acuerdo que los axiomas existan de esa manera. En matemáticas un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemáticas se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.


Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que cualquier sistema axiomático, por definido y consistente que sea, posee serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable ¡y por tanto P es verdadero! Este teorema de Gödel a menudo ha sido interpretado en un sentido pesimista, como una especie de limitación esencial del conocimiento humano o algo así (porque implícitamente se presupone que nuestro razonamiento es como una máquina). Pero ese no es el caso, debe notarse que realmente Gödel nos hace ver que tal enunciado P es verdadero, así que el resultado de Gödel realmente muestra que ningún sistema axiomático consistente (entendido como máquina de deducir) agota la capacidad de demostración de la razón humana. Su sentido es que ningún ordenador ni proceso meramente mecánico pude emular el raciocinio humano, que nuestro espíritu no es lo que hoy en día entendemos como máquina.

Answer 6

un axioma es una "verdad evidente" sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual se construyen otros conocimientos.