aide urgent(maths) plzzzzzzz?

Question

salut tout le monde quelqu'un pourait me montrer comment demntrer
que

-1/2=
en sachant que a,b,c apartiennent a R

et que a^2+b^2+c^2=1

merci d'avance

Answer 1

Dans R un carré est toujours positif.

(a+b+c)²>=0
a² + b² + c² + 2ab +2ac + 2bc>=0

or

a² + b² + c²=1
1+2ab +2ac + 2bc>=0
2(ab+ac+bc)>=-1
ab+ac+bc>= -1/2
-1/2 =< ab+ac+bc (relation 1)

(a-b)²>=0
a² - 2ab + b²>=0
a² + b²>=2ab (relation 2)

de même on a :

(a-c)²>=0
a² - 2ac + c²>=0
a² + c²>=2ac (relation 3)

(c-b)²>=0
c² - 2cb + c²>=0
c² + b²>=2cb (relation 4)

d'après les relation 2,3 et 4

a² + b²>=2ab (relation 2)
a² + c²>=2ac (relation 3)
c² + b²>=2cb (relation 4)

on a (en faisant la somme des inégalités) :

a² + b²+a² + c²+c² + b²>= 2ab+2ac+2cb
ce qui donne :
2a²+2b²+2c²>= 2ab+2ac+2cb
2(a² + b² + c²)>= 2(ab+ac+cb)

en simplifiant par 2 on obtient :

a² + b² + c²>= ab+ac+cb

d'après l'hypothèse :

a² + b² + c²=1

on a :

1>= ab+ac+cb

ab+ac+cb =< 1 (relation 5)

Par conclusion d'après les relations 1 et 5 :

-1/2 =< ab+ac+bc (relation 1) et ab+ac+cb =< 1 (relation 5)

on a :

-1/2 =< ab+ac+bc =< 1 d'où le résultat.

Answer 2

déja pour -1/2 <= ab+ac+bc
facile
0<= (a+b+c)^2
developpe
0<= a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)
d ou -(a^2+b^2+c^2)/2<= (ab+ac+bc)
donc -1/2 <= ab+bc+ac
0<= (a-b)^2= a^2+b^2-2ab
donc
2ab<= a^2 + b^ 2 de meme pour
2ac<= a^2 + c^2
2bc<=b^2+c^2
la somme
2(ab+ac+bc)<= 2a^2 +2b^2+2c^2
d ou ab+ac+bc<= a^2 +b^2+c^2=1 cqfd

à +

Answer 3

j'ai la partie gauche, pour la droite je ne vois pas encore ......

0 =< (a+b+c)²
0=< a² + b² + c² + 2ab +2ac + 2bc
0=< 1 + 2 ( ab + bc + ac)
-1/2 = < ab + bc + ac

Answer 4

Pour la partie droite, on commence par
(a-b)^2 + (a-c)^2 +(b-c)^2 >= 0 (car somme de 3 carrés)
on développe ce qui donne:
2.a^2 +2b^2 +2c^2 -2ab -2ac -2bc >= 0
or a^2 + b^2 + c^2 = 1
donc
2 -2ab -2ac -2bc >=0
soit
2 >= 2ab+2ac+2bc
ce qui donne
1>= ab+ac+bc

Pour la partie gauche quelqu'un à déjà répondu.

Answer 5

On sait que a^2+b^2>=2ab,
b^2+c^2>=2bc et c^2+a^2>=2ac,
donc, en additionnant les trois :
2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ac) soit :
(a^2+b^2+c^2)>=(ab+bc+ac), donc:
(ab+bc+ac)<=1.
Pour l'autre inegalite, il suffit en effet de developper (a+b+c)^2>0.

Answer 6

en fait si : 2a +2b + 2c =1
càd a+b+c = 1/2 ça d'un coté
et donc a+b+c <= 1/2
donc 1/a+1/b+1/c>=1/2
bc/a+ac/b+ab/c>=1/2
*(-) invesre..

Answer 7

Désolée, je comprends rien !
Pourtant, j'était forte en maths, au lycée !