2006-10-19 00:00:57 · 7 réponses · demandé par Anonymous dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
oui.
Attention : un nombre décimal est un nombre à l'écriture finie. Je comprends que tu parles d'un nombre dont le développement de l'écriture décimale possède une période.
Soit x ton nombre. Appelons p cette période, p=n1n2n3n4n5....ni, est un nombre entier à i chiffre.
on remarque que 10^i x - x = d, un nombre décimal (à nombre de chiffres après la virgule fini : m).
d peut s'écrire D/10^m, où D est un entier.
Finallement x = D/(10^m*(10^i-1)), c'est bien un rationnel.
2006-10-19 00:28:06 · answer #1 · answered by dylasse 3 · 1⤊ 0⤋
On suppose que le nombre s'écrit sous la forme:
x = x0 + 10^(-k).(a1+...+an) + 10^(-n-k).(a1+...+an) + ...
où x0 est la partie non périodique de l'écriture décimale de x, k le rang de la première décimale d'écriture cyclique et n la longueur de la période.
On note que:
x = x0 + 10^(-k).(a1 + ... + an).(1+10^(-n)+10^(-2n)+...)
La dernière parenthèse est une série géométrique. La somme vaut:
1/(1-10^(-n)).
On a donc écrit x sous forme de sommes et de produits de nombres rationnels. C'est donc un rationnel.
2006-10-19 07:33:09 · answer #2 · answered by italixy 5 · 1⤊ 0⤋
Oui, regarde dans n'importe quel livre de math
2006-10-19 14:39:46 · answer #3 · answered by Obelix 7 · 0⤊ 0⤋
la reponse de dylasse est correcte a deux details pres :
1) un nombre décimal n'a pas forcement une ecriture finie (mais il en possede au moins une):
0.99999999.....=1
2) dylasse n'a pas justifie que la validité du calcul 10x-x=d où d est décimal.
Les opérations avec les nombres dont le developpement décima l est infini doivent de faire en précisant la définition de + et x :
autrement dit, il faut me préciser ce que vaut :
0.567 567 567.....+ 0.789 789 789.....
mais comme c'est possible, va pour cette demo
2006-10-19 05:11:13 · answer #4 · answered by trash k 2 · 0⤊ 0⤋
Sachant que
abcde / 99999 = 0.abcdeabcdeabcde...
ou encore
ab/99 = 0.abababababab...
Tout nombre X possédant une période peut être décomposé comme ceci :
X = Racine + periodeDeLongueurN / N fois le nombre 9
En ramenant sur le même dénominateur, tu trouves la fraction équivalente à X, à tous les coups.
Soit X=3.14151415141514151415...
Racine = 3
periode=1415
Longueur de la période 4
X=3+1415/9999
Soit X = 31412/9999
2006-10-19 03:15:47 · answer #5 · answered by Manu 2 · 0⤊ 0⤋
Il n'y a rien à démontrer, c'est une définition.
2006-10-19 00:33:56 · answer #6 · answered by Menhir 3 · 0⤊ 0⤋
c'est avec des questions comme celle-ci que je ne regrette pas d'avoir fini l'école!!!
Bon courage!!!
2006-10-19 00:09:04 · answer #7 · answered by grelinette 2 · 0⤊ 0⤋