Tengo una fución de dos variables para derivarla respecto de un vector cualquiera. ¿cómo lo hago?

Question

El problema es mas largo, pero con esa respuesta y una pista sobre continuidad y diferenciabilidad, ya estoy pronta. Gracias.

(x^2*y^2)/(x^2+y^4) con f(0,0)=0 las funcion de R^2 en R

Answer 1

1o. necesitas el vector de longitud 1,
digamos u,
2o. necesitas el gradiente de f
3o.
la derivada direccional de f en la direccion de u es:
gradiente de f . u

es decir, el producto interior del gradiente de f con u.

como no escribes cual es el vector u,
lo unico que puedo hacer es escribirte cual es el gradiente de f:

( [(x^2+y^2)(2xy^2) - x^2y^2(2x) ] / (x^2+y^2)^2,
[(x^2+y^2)(2x^2y) - x^2y^2(2y) ] / (x^2+y^2)^2 )

( [2xy^4 ] / (x^2+y^2)^2,
[2x^4y ] / (x^2+y^2)^2 )

ok, me acabo de dar cuenta que ninguna de estas funciones esta definida para (0,0),
entonces lo que tienes que checar es que los limites de f(x,y) y del gradiente cuando (x,y)-->(0,0) tambien son 0.
lo que implicaria, que la derivada de f en cualquier direccion u, es siempre igual a cero.

Answer 2

vale,pues ...seria algo asi suponiendo q te pidan el estudio d la diferenciabilidad
f es continua en R2-{0,0} porel caracter local de f,vemos si es tb continua en (0,0):
haciendo limites direccionales:....

es tb continua en cero (creo no lo he comprovado)

estudiamos sus derivadas parciales:
Dx= derivada d f respecto d x,la y se toma cmo una constante
Dy= derivada d f respecto d y,la x se toma cmo constant

igualando a cero ambas y resolviendo el sistema salen los posibles max o min d la funcion.

para saber si lo son construyes la matriz hessiana formada por las segundas derivadas:
Dxx=la 1ªderivada d antes otra vez respecto d x
Dxy=la primera derivada hallada d antes respecto d y
Dyy=la segunda.................................respecto de y
Dyx= la segunda..................................respecto de x
esta matriz es simetrica y su determinante,determina si es max o min o un punto silla

Answer 3

Me es más fácil si pones las funciones....¿Puedes ponerlas?