¿Como puedo crear un intervalo de confianza para el cociente de dos series arimas?

Question

Por medio de series de tiempo se pronostico dos variables, con estos pronosticos se calcula un cociente que es el objetivo, no se puede pronosticar el cociente desde un principio, el problema es que para este cociente necesito los intervalos de confianza, ¿como puedo hacerlo?

Answer 1

Cada serie de tiempo la puedes expresar como un componente conocido (comobinación lineal de observaciones -AR y errores MA previos) y un componente desconocido que, por construcción, se distribuye normal. Supongamos que X(t)=A'O+f(t) y Y(t)=B'O+g(t) donde O es el vector de observaciones y desviaciones anteriores, A y B son los vectores de coeficientes, y f y g son los términos de error que se asumen normales.
Entonces, tanto X(t) como Y(t) son normales. El cociente de dos normales independientes se distribuye como una Cauchy:
f(x,y)=exp[(x-mx)^2/(2sx^2)+(y-my)^2/(2sy^2)]/(2 (pi sx sy))
don mx es la media de x, my es la media de y y sx y sy son las desv estándar de x y y respectivamente.

La respuesta de Roimer es INCORRECTA:
No quieres la probabilidad de que una variable esté en un intervalo y la otra en el suyo propio. la región cuya probabilidad buscas NO ES rectangular, como Roimer propone. Es justamente al resolver ese problema como llegas a la Cauchy.
Por cierto, en R (http://en.wikipedia.org/wiki/R_programming_language) puedes obtener cómputos de la Cauchy y de otras distribuciones.
La distribución F modela el cociente de dos CUADRADOS de normales, no de dos normales

Answer 2

Usando el teorema central del limite,si las variables son independientes

Answer 3

Medio complicado tu problema. veamos que se puede hacer:

Una solución simplificada (no estoy seguro de que tal válida sea, pero me parece plausible): Si necesitas un intérvalo de confianza del 90% debes calcular los intervalos de confianza de ambas variables pero del 94,87% (o sea RAIZ(0,90) ). Tu ya tienes el valor central estimado (la media de la primera variable entre la media de la segunda), te faltarían los límites inferior y superior del intérvalo: el inferior (LIc) se obtiene dividiendo EL LÍMITE INFERIOR de la variable numerador (LI1) entre EL LÍMITE SUPERIOR de la variable denominador (LS2); de forma equivalente el límite superior del cociente (LSc) se obtiene dividiendo EL LÍMITE SUPERIOR de la variable numerador (LS1) entre EL LÍMITE INFERIOR de la variable denominador (LI2).

Justificación: la probabilidad de que la variable cociente esté entre LIc y LSc es igual a la probabilidad de que la variable númerador esté entre LI1 y LS1 al mismo tiempo que la variable denominador esté entre LI2 y LS2. Esto es, (solo si las dos variables son independientes):

P(LIc < c < LSc) = P(LI1 < v1 < LS1) * P(LI2 < v2 < LS2)
P(LIc < c < LSc) = (0,9487)*(0,9487)
P(LIc < c < LSc) = 0,90 (90%)

Otra cosa, el intervalo de confianza que acabas de obtener de ningún modo será simétrico, como ocurre en las Distribución Normal de Probabilidad. La distribución de probabilidad para el cociente de dos variables está sesgada a la derecha, como la distribución F, utilizada para comparar dos varianzas (dividiéndolas). Así que si tu valor medio es por ejemplo 3, tu intervalo de confianza del 90% debería darte algo como desde 2,4 hasta 7 (sesgada a la derecha).

Un método más formal y seguro, pero muy trabajoso sería que en vez de estimar los dos valores de ambas variables busques la distribución de probabilidad o más bién las Funciones de Densidad de Probabilidad de cada una. Así puedes calcular la Función de Densidad de Probabilidad del cociente y por medio de una integral calcular el intervalo que necesites, pero de nuevo sería mucho trabajo, considerando que si los datos vienen de una serie de tiempo es probable que quieras actualizar y hacer una nueva predicción en el próximo intérvalo (una semana, un mes...)

Espero que esto responda a tu pregunta.