a que se refire que una funcion sea diferenciable?

Question

me dice si f(x) es continua en un punto x entonces F(x) es diferenciable en x y se cumple que F'(x)=f(x)

Answer 1

Me gustaría conocer algo más del contexto en que se expresa lo que escribiste. Igual te puedo dar unos datos.

Que una función y = F(x) (de una sola variable independiente)sea diferenciable es lo mismo que sea derivable, ya que:
d F(x) = (dF(x)/dx) * delta x

Es derivable si existe el siguiente límite cuando delta x tiende a cero:

F'(x) = Lím ( delta F(x) / delta x) = lím (F(x+delta x) - F(x)) / delta x
..............delta x ->0 .......................delta x -> 0

Por ello debe existir dicho límite para que exista su derivada (porque esa es su definición) y debe existir la derivada para definir la diferencial en el eje ordenado.

Además de la condición de continuidad se pone la condición de derivabilidad, o de diferenciabilidad, porque una cosa no implica la otra. Ejemplo:

y = f(x) = x *signo(x)

Para todo x<0 la derivada es (-1)
Para todo x>0 su derivada es (+1)

En particular en x = 0 encuentras que si bien tiene límite de f(x) para x->0 lo que no tiene es lím (delta f(x) / delta x) para x->0 en x=0 (prefiero ser redundante con eso).
Hay límite por derecha y límite por izquierda pero son distintos (-1) y (+1) por o cual NO es difernciable en ese punto, o igualmente NO es derivable en x=0.

Eso es lo que indicaban más arriba quienes pusieron que debe ser una curva "suave o sin "picos".

Bueno, no sé si es la mejor explicación, pero espero que complemente otras muy buenas que te dieron otros para entender el concepto.
Suerte y saludos.

Pd. una cosa más que creo puede ayudar: recuerda la interpretación geométrica de la derivada. Es pendiente, o tangente trigonométrica, de la la recta tangente geométrica de la función en el punto considerado. Si el punto es un vértice (un pico, una unión de curvas que forman ángulo) justo en él no podemos trazar una tangente, lo podemos hacer un infinitesimal antes y otro después, no en el punto, entonces en él no es derivable, o lo que es lo mismo no existe un d F(x) que pueda definir una pendiente única en ese punto.

Y otra cosa que me hizo dudar: F'(x) = f(x)
tomo F(x) como la primitiva, y f(x) una función distinta, pero derivada de la anterior (o sea F distinto de f) ya que si fuera f '(x) = f(x) nos referiríamos a una función en particular => e^x.
.
.
.

Answer 2

Una función se dice difrenciable en x, si existe o está definida su derivada, tanto lateral izquierda como derecha, debiendo éstas ser iguales; en dicho punto. En caso contrario no es diferenciable.

Answer 3

No no no, que no te confundan!!!!

Que una funcion sea diferenciable no es lo mismo que sea derivable, partamos por eso. Para que te quede un poco mas claro, hay funciones que no son diferenciables pero si existe su derivada asi que son derivables.

por lo tanto, primera cosa clara

f diferenciable => f derivable , pero no alreves, como ya te dije (y lo repito) hay funciones cuya derivada(matriz) existe pero no son diferenciables.

Ahora que es diferenciabilidad?, tiene que ver mas con el concepto de un "plano" tangente en ese punto, un ejemplo clasico es la esfera de disco esa que ves en la discoteque, fijate que en cada punto puedes pegar un vidrio tangente a ese punto, tambien matematicamente se le suele decir una funcion "suave" en el punto , porque el plano que apoyas en ese punto es unico, no asi en una esquina de una mesa que puedes poner infinitos planos tangentes en ese punto.

Ahora volvamos a la matematica pura:

Para que una funcion sea diferenciable en el punto a, debe cumplir que:

1) F'(a) exista (acuerdate que la derivada es una matriz), o sea deben existir todas las derivadas parciales en ese punto (he aqui que tenga que ser derivable)

2) Lim [ | F(a) - F'(a)(x-a) | ] / [ distancia de x hasta a ] = 0
x->a
Fijate bien, el punto 2) se tiene que cumplir, ese limite debe ser cero y nada mas que cero. Hago notar tambien que F'(a)(x-a) es una multiplicacion de matrices: la matriz derivada F'(a) o Jacobiano de F en a y el vector (x-a).

Fijate tambien que al calcular la derivada de F( cada derivada parcial), si alguna de las derivadas parciales no existe, entonces la funcion no es derivable, y por consiguiente no es diferenciable.

Calcular el punto 2) puede resultar facil si aplicas unas tecnicas, que sera muy extenso explicar aca.


Espero haber sido lo mas claro y completo posible.

Suerte

Answer 4

tiene pinta de tha fundamental del calculo...pero es derivable no diferenciable,d todas formas:
los requisitos para q una funcion sea diferenciable son:

- la condicion necesaria de diferenciablilidad:
si f es diferenciable en a ent f tiene matriz jacobiana en a
ed si existe la matriz jacobiana d f en un pto ent f es diferenciable xq la matriz jacobiana esta formada por el valor de las parciales en el pto,por lo q seran continuas en el punto.
-la condicion suficiente d diferenciabilidad:
si las parciales son continuas en a ent f es diferenciable por continuaidad en a,siendo la matriz jacobiana la formada por las parciales en el pto.

** lo q diferencia los dos casos es q cuando todas las parciales son continuas directamente es diferenciable por continuidad,en cambio si una de las parciales no es continua en a tendremos q calcular el valor d la parcial en a por la definicion.por eso una es necesaria y otra solo suficiente ya q f puede der diferenciable sin tener las parciales continuas.

otras formas de ver la diferenciabilidad de una funcion son:
- por la caracterizacion geometrica de la diferenciabilidad,
basicamente aplicas la definicion en el punto y el limite tiene q ser cero.

Lim [f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)] / ||x-a|| =0 ,el limite cuando x tiende en a=(...),siendo x=(x,y,...)

Answer 5

Que se puede integrar porque existe la derivada en ese punto ó que existe el límite de f(x) en ese punto.

Answer 6

Hola:

La diferencial de una función se define por medio de un límite: lim f(x+d) cuando d tiende a 0.

Esto quiere decir que si tienes la gráfica de la curva, fijas un punto x (donde quieres hacer la diferencial o derivada), después te fijas si te acercas por la izquierda hacia el punto x y si te acercas por la derecha al punto x si la gráfica te lleva al mismo punto.

Para que quede un poco más claro un ejemplo: digamos que f(x) = ( 1 si x<1 y 2 si x>=1)

Esto quiere decir que cuando x=1 la gráfica de la función brinca de 1 a 2, por lo tanto si el punto x en que quieres diferenciar es 1 hacemos lo que te dije antes: te acercas por la izquierda hacia el uno, verás que el "valor tiende a 1", pero si ahora te acercas por la derecha verás que "el valor tiende a 2" como los valores a los que tiende son diferentes concluyes que la función f(x) no es diferenciable en x=1.

Intenté ser lo más claro posible, espero haberlo logrado.

Suerte.

Answer 7

Si f(x) es continua en un punto, significa que al graficar la curva no tendrá saltos en un intervalo al rededor del punto x. Que F'(x)=f(x) significa que la derivada da la función en el punto x tiene el mismo valor que la función f evaluada en x. Vale acotar que una función derivable es contínua siempre, pero no toda función contínua es derivable; podría darse el caso de que en la continuidad existiera un pico, y allí la función no es derivable, pero sigue siendo contínua. Saludos ;)

Answer 8

Una función no es diferenciable en un pico (ejemplo en un vértice de un rectángulo por tener dos pendientes).
Por otro lado lo último que escribiste no es cierto, (excepto en Y = e elevadoa la X). ES la única función cuya derivada es ella misma.

Answer 9

la derivada es la velocidad de crecimiento de una función. Si una función representa la función de la distancia recorrida, si lo derivamos tenemos la velocidad del auto en cada instante.

derivado y diferenciabilidad en una variable es lo mismo, cuando se utilizan varias variables (graficos 3D) etc, diferenciable quiere decir que es derivable en todas las direcciones.

Answer 10

porque la curva que genera la funcion en ese punto es "suave" y podes aplicar la funcion derivada (en la cual utilizas el infinitecimo siguidiente (f(x)-F(x0)))
Saludos