Calcule de la limite d'une suite (avec les DL ?)?

Question

Calculer la limite de la suite Un = ((n*sin(1/n))^n)^2
je pense qu'il faut utiliser les DL... mais je vois pas comment / ou :s

je cherche pas a se que vous me donniez la réponses, m'intersse pas... mais comment faire pour la trouver... oO

merci

Answer 1

Utilises le changement de variable suivant: N=1/n. N tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Un devient alors [ (sin(N) / N)^1/N ]².

Au voisinage de 0, on a:
sin N = N - N^3/3! + o(n^3)

donc sin N / N = 1- N²/6 + o(N²)

donc (sin N / N)^1/N = (1- N²/6 + o(N²))^1/N
= exp ( ln(1- N²/6 + o(N²)) / N)

-N²/6 + o(N²) tend vers 0 qd N tend vers 0.

DL en 0 de ln (1+u) = u + o(u)

donc au voisinage de 0, ln(1- N²/6 + o(N²))= - N²/6 + o(N²)
donc ln(1- N²/6 + o(N²))/N = -N/6 + o(N) et tend vers 0 qd N tend vers 0.

DL en 0 de exp:
exp u = 1 + u + o(u)

donc, au voisinage de 0, (sin N / N)^1/N = 1 - N/6 + o(N)

DL en 0 de (1+u)²= 1 + 2u + o(u)

on prend ici u=- N/6 + o(N)

on a alors ((sin N / N)^1/N)² = 1 - N/3 + o(N)
et ceci tend vers 1 quand N tend vers 0.

Conclusion: Un tend vers 1 quand n tend vers l'infini.



Au fait, pourquoi tu as l'air aussi malheureux sur ton avatar? C'est pas grave si on n'arrive pas à résoudre une limite. Avec de l'exercice tu y arriveras.
Bon courage!

Answer 2

Rien à changer à la démo d'Imelghit, sauf que si 1+u---->1, pas besoin de DL pour conclure que le carré tend aussi vers 1!
Peut-être aussi faut-il s'appuyer sur le cours, ou rappeler la démo pour dire que o(N2)*N=o(N) et autres cas du même genre!
Imelghit mérite les 10 pts! En plus,son nom kabyle est bien plaisant!

Answer 3

tu fais un dL en posant 1/n = u comme cela ca revient au Voisinage de 0 et t applique (1/u*sin(u))^1/u= exp1/u(ln(1/u(sin(u))
or sin u = u-(u^3)/3factoriel
donc 1/u sinu = 1-(u^2)/3factoriel et t ecris le reste DL pour le ln et apres pour exp
toujour en verifiant que tu es au voisinage de 0 bon courage il ne reste plus gd chose