¿Porque si a un numero positivo cualquiera se le saca raiz cuadrada infinitamente el resultado es 1?

Answer 1

Primero analiza que es sacar varias veces la raiz cuadrada de un numero:

Sea x cualquier numero. Sabemos que la raiz cuadrada se puede expresar como x exponente 1/2, es decir:

x^(1/2)

Si le volvemos a sacar raiz:
[x^(1/2)]^(1/2)

Por leyes de los exponentes se multiplican los exponentes:

x^(1/4)

Al sacar raiz de nuevo se repite la operación

x^(1/8)

Y de nuevo

x^(1/16)

Vemos que tenemos una sucesión en los exponentes:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16.....

Donde no es dificil ver que el n-esimo termino es:

1/(2^n)

Es decir, n es el número de veces que sacas la raiz cuadrada a x. Matemáticamente queda:

x^[1/(2^n)]

Ahora, si tu haces que n tienda al infinito, te daras cuenta que el exponente se hace 0:

x^0

Y es sabido que cualquier número con exponente 0 es igual a 1.

Creo que eso responde con claridad tu pregunta.

Answer 2

Geniales respuesta, pero creo que esta es mas sencilla

y = x^(1/a^n) donde 1/a representa un radical de base "a" (si a es dos, es raíz cuadrada). La "a" elevada a la n representa el número de veces que deseas sacar la raíz.

Por medio de logaritmos la expresion se transforma en

ln y = (1/a^n)*ln x

Ahora, si n tiende a infinito, a^n tiende a infinito, por lo que el primer múltiplo tiende a cero. Si este tiende a cero el producto tiene a cero.

Por tanto ln y tiene a cero y, por tanto, el antilogaritmo, o sea, "y", tiende a uno.

Esto se cumple para cualquier tipo de radical donde la base tienda a infinito.

Answer 3

En realidad, no va a ser igual a 1, va a tender a 1 que no es lo mismo. Vas a obtener un numero con muchos decimales (aunque la calculadora, como tiene sus limites, redondea)

Answer 4

Extraer la raíz cuadrada de un número es equivalente a elevarlo a la potencia 1/2. Si saco repetidas veces la raiz digamos n veces tendré que el número estará elevado a la potencia: 1/2*1/2*1/2*... = 1/ (2)^n (uno dividido por dos elevado a la n).
Cuando n tiende a infinito ese valor tiende a cero. Como todo número elevado a la cero es 1, entonces siempre obtendrás ese valor al sacar repetidamente la raíz cuadrada de cualquier número positivo.

Answer 5

Porque cada vez se va haciendo más chico, pero nunca puede pasar de uno.

O potrque RAIZ n de A = A elevado a 1/n y como n tiende a infinito, 1/n tiende a cero. A elvado a cero = ! siempre.

Answer 6

porque lo que en realidad estas haciendo es aplicar el metodo de punto fijo para la funcion x= raiz(x)
que consiste en tomar un valor inicial y evaluar la funcion en ese valor, y con el nuevo valor hacer lo mismo, es decir:
- x(n+1) = raiz( x(n))
el siguiente valor serà el valor anterior evaluado en la funcion.
Ahora: el metodo del punto fijo para esta funcion converge a 1 cuando se toma un valor inicial positivo.

en cambio si tomo una funcion: x = ln (x) esta diverge para cualquier numero positivo

pero tambien lo podes ver como dijo michel hernandez mas arriba, aunque es mas matemàtico y menos intuitivo que los metodos de aproximacion de raices de ecuaciones que dije yo.

Answer 7

Bastará demostrar que "raiz( x ) <= x " con "x >= 1". Ello significa que cada vez que calculamos la raiz de un número, obtendremos "otro menor" que el número original. Y por sucesivas aplicaciones de esta regla, se llegará al "1" como resultado final.

1º) Lo primero que debemos saber es que la función "f (x) = raiz( x ) (i)"
es estrictamente creciente en el rango (0, +infinito). Ello se deduce de la derivada de la función: f '(x) = ½ * x^(-½) ===> f '(x) = 1 / [ 2 * f(x) ]

Como f (x) > 0 para todo x perteneciente al rango (0, +infinito), entonces " f '(x) " también lo será. Así, f (x) es estrictamente creciente.

2º) Analicemos el comportamiento de la función g (x) = x² - x. Interesa averiguar donde esta cuadrática es no negativa. En fórmulas ello implica:
g (x) >= 0 ===> x² - x >= 0 ===> x ( x - 1) >= 0.

Es sencillo evaluar que -para que esto se cumpla- debe ser: x >= 1 (ii)

3º) Y finalmente, trabajemos en el rango (ii). Allí se cumple que:
g (x) >= 0 ===> x² - x >= 0 ===> x² >= x (iii)

Como ya demostramos (en 1º) que la función "raiz( x )" es estrictamente creciente en el rango (0, +infinito), aplicamos este resultado a (iii), manteniéndose la desigualdad:
x² >= x ===> x > raiz (x), con "x > 1", que es lo que se quería demostrar.

4º) Similarmente (no lo voy a hacer por brevedad) es sencillo demostrar que en el rango (0, 1) se cumple la desigualdad inversa: x < raiz (x). Por ello también se tiende al resultado "1".

5º) Otra forma de demostrar lo antedicho es mediante la aplicación de límites. Sea "x" nuestro número inicial. Luego de nuestra primera raiz obtendremos " x ^ (1/2)". Luego de la segunda: " x ^ (1/4)".
Luego de "n" raices cuadradas, obtendremos: " x ^ [1 / ( 2 n ) ]".
Resulta simple advertir que cuando "n tiende a infinito", [1 / ( 2 n ) ] tiende a "0". Por lo que " x ^ [1 / ( 2 n ) ]" tiende a "1" con "x > 0".
...

Answer 8

El único caso en que ello ocurre es si extraigo reiteradamente la raíz cuadrada de uno, sino, jamás la raiz cuadrada de un número positivoes UNO, lo que ocurre es que aplicando el concepto de límite, el valor que obtenemos se acerca infinitamente a uno SIN LLEGAR JAMÁS A SER UNO. Podremos obtener valores como
1, 000000000000000000000001 que no es uno, pero, LA CALCULADORA REDONDEA A UNO PORQUE NO PUEDE MOSTRAR EL VALOR CORRECTO. Esta pregunta también vale para raices de cualquier índice, no sólo raíz cuadrada, pero la respuesta es la misma.

Answer 9

Porq una de las propiedades de la radicación es q el número 1 es neutro.