Quelqu'un peut m'expliquer la conjecture de poincaré dans les mots simples? Perelman l'as prouvé comment?

Question

L'article de wikipedia est trop compliqué pour un tete non scientifique. Ni plusieurs article sur le theme apprus dernierement dans plusieurs journaux sont faciles à comprendre

Answer 1

Prends une pomme, et imagines un ruban autour de cette pomme.
En faisant glisser le ruban tout doucement, il est possible de le comprimer en un point de la pomme, sans couper le ruban ni le faire quitter la surface de la pomme.
Prends maintenant un anneau, et imagines un ruban enfilé autour de l'anneau. Cette fois, il est impossible, sans couper le ruban ou l'anneau, de réduire juste par glissement et compression le ruban en un point.
En langage mathématique, on dit que la pomme est une surface simplement connexe, alors que l'anneau ne l'est pas.

Poincaré savait il y a un peu moins d'un siècle que cette propriété caractérisait topologiquement la sphère parmi les surfaces de l'espace.
Autrement dit, si une surface (fermée) de l'espace est simplement connexe, elle peut être déformée continûement en la sphère (une déformation continue peut être assimilée à ce que l'on est capable de réaliser avec de la pâte à modeler, sans couper une boule de pâte en deux).
Poincaré posa alors en 1904 la question suivante :
Est-ce que cette propriété caractérise encore la sphère 3-dimensionnelle dans l'espace à 4 dimensions, ou plus généralement la sphère n-dimensionnelle dans l'espace à (n+1) dimensions.
En langage plus mathématique :

Est-ce qu'une variété compacte de l'espace à n+1 dimensions est homéomorphe à la sphère n-dimensionnelle?

Il semblerait que le mathématicien russe Grigori Perelman, du prestigieux Steklov Institute of Mathematics de Saint-Petersbourg, ait produit une preuve de la conjecture de Poincaré.
Plus précisément, Perelman aurait résolu une conjecture encore plus générale que la conjecture de Poincaré, à savoir la conjecture de Thurston,

Answer 2

http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/Poincare.htm
site plus simple que Wikipedia, qui peut donner une impression de ce que ça représente à un non spécialiste, mais déjà de bon niveau (prépas) en maths.
Pour un non matheux, ça ne peut pas être expliqué, et d'ailleurs çà ne lui apportera rien!
J'ajoute pour Gwen que c'est bien de chercher des réponses sur le Net, mais il faut qu'elles soient adaptées à la question, pas hors sujet, Poincaré s'est occupé de beaucoup de problèmes différents! Et une conjecture, c'est une intuition qu'on ne sait pas démontrer, il a fallu cent ans avant que Perelman trouve, et ce n'est pas encore vérifié totalement.

Answer 3

moi désolé.
simplement, je ne sais pas.
autrement non plus d'ailleurs.

Answer 4

Si c'est bien à propos de la héorie de la relativité, voilà ce que j'ai:

Si quelque partie de la science paraissait solidement établie, c’était certainement la Mécanique newtonienne ; on s’appuyait sur elle avec confiance et il ne semblait pas qu’elle pût jamais être ébranlée. Mais les théories scientifiques sont comme les empires, et si Bossuet était ici, il trouverait sans doute des accents éloquents pour en dénoncer la fragilité. Toujours est-il que la Mécanique newtonienne commence à rencontrer des sceptiques et qu’on nous annonce déjà que son temps est fini. Je voudrais vous faire connaître quelles sont les raisons de ces hérétiques et il faut vous avouer que quelques-unes d’entre elles ne sont pas sans valeur ; et je voudrais vous expliquer en quoi consiste la Mécanique nouvelle qu’on se propose de mettre à la place de l’ancienne.


Le principe fondamental de la Dynamique de Newton, c’était celui qui nous enseigne que les effets d’une force sur un corps mobile sont indépendants de la vitesse antérieurement acquise par ce mobile. Un corps part du repos, une force agit sur lui pendant une seconde et lui communique une vitesse u : si l’on fait agir la même force pendant une deuxième seconde, elle communiquera au corps un nouvel accroissement de vitesse égal au premier, c’est-à-dire à u et la vitesse deviendra 2 u ; si elle agit encore pendant une troisième seconde, la vitesse deviendra 3 u, et ainsi de suite. De sorte qu’en continuant l’action de cette même force pendant des temps suffisamment longs, on pourra obtenir des vitesses aussi grandes que l’on voudra.


Eh bien, c’est précisément ce principe qui est révoqué en doute. On dit maintenant que si la force agit pendant une deuxième seconde, son effet sera moindre que celui qu’elle a produit pendant la première ; qu’il sera moindre encore pendant la troisième seconde, et, en général, qu’il sera d’autant plus petit que la vitesse déjà acquise par le corps sera plus grande. Et comme ces accroissements successifs de la vitesse sont de plus en plus petits, comme la vitesse augmente de plus en plus lentement, il y aura une limite qu’elle ne pourra jamais dépasser, quelque temps que l’on prolonge l’action de la force accélératrice et cette limite, c’est la vitesse de la lumière. L’inertie de la matière paraît ainsi d’autant plus grande que cette matière est animée d’un mouvement plus rapide ; en d’autres termes, la masse d’un corps matériel n’est plus constante, elle augmente avec la vitesse de ce corps.


Et ce n’est pas tout ; une force peut agir dans le sens de la vitesse du mobile, ou perpendiculairement à cette vitesse ; dans le premier cas, elle tend à accélérer le mouvement, ou, au contraire, à le ralentir si elle est de sens contraire à ce mouvement ; mais la trajectoire reste rectiligne ; dans le second cas, elle tend à dévier le mobile de son chemin et, par conséquent, à courber sa trajectoire. D’après l’ancienne mécanique, l’accélération produite par une même force sur un même corps serait la même dans les deux cas. Cela ne serait plus vrai d’après les idées nouvelles qu’on cherche à faire prévaloir. Un corps mobile, par suite de son inertie, opposerait une résistance soit à la cause qui tend à accélérer son mouvement, soit à celle qui tend à en changer la direction ; mais si la vitesse est grande, cette résistance ne serait pas la même dans les deux cas.


Comment peut-on le savoir ? Une expérience directe est-elle possible ? Il est clair que s’il y a une divergence, elle ne peut être sensible que pour des vitesses tout à fait énormes ; sans quoi cette divergence aurait été remarquée depuis longtemps par les expérimentateurs. Or, sous le rapport de la vitesse, on a fait depuis quelque temps des progrès considérables. Vous croyez peut-être que je veux faire allusion aux merveilles de l’automobilisme ; eh bien, pas du tout ; les automobiles font quelquefois du 100 à l’heure, mais, au point de vue qui nous occupe, c’est une vraie vitesse d’escargot. Depuis longtemps, nous avons mieux que cela, nous avons les corps célestes ; le plus rapide d’entre eux est Mercure, il fait aussi du 100, non pas à l’heure, mais à la seconde. Malheureusement, c’est encore insuffisant. Je ne parle pas non plus de nos pauvres boulets de canon qui ne font même pas 1 km par seconde.


Seulement, depuis quelque temps, nous avons une artillerie dont les projectiles sont beaucoup plus rapides. Je veux parler du radium. On a découvert que les effets étonnants de ce corps sont dus à ce qu’il émet dans tous les sens des particules extraordinairement ténues qui constituent un véritable bombardement.


Si nous comparons cette artillerie à celle des armées européennes, nous voyons que la rapidité du tir est beaucoup plus grande, ainsi que la vitesse initiale des obus ; malheureusement, le calibre est beaucoup trop petit, et c’est pourquoi aucune puissance ne songe à l’adopter.


Cette vitesse initiale est le dixième ou le tiers de celle de la lumière, 30 000 km ou 100 000 km par seconde ; elle laisse donc loin derrière elle celle des planètes les plus rapides et elle commence à être assez grande pour que les divergences entre la mécanique ancienne et la mécanique nouvelle puissent être mises en évidence.


Comment peut-on maintenant expérimenter sur des projectiles aussi rapides ? Il me faut d’abord rappeler que le radium émet trois sortes de rayons appelés a, β et g ; les rayons a sont beaucoup trop lents pour notre objet ; les rayons g analogues aux rayons X ne peuvent pas non plus convenir. Il faut s’adresser aux rayons β analogues aux rayons cathodiques. Les projectiles correspondants en effet sont chargés, non pas de mélinite comme nos obus, mais d’électricité ; cela est hors de doute, puisqu’en soumettant un cylindre de Faraday pendant un certain temps à ce bombardement, on constate qu’il s’électrise. Qu’en résulte-t-il ? Si ces rayons traversent un champ électrique, ce champ agira sur leur charge et déviera le rayon ; la trajectoire sera d’autant plus tendue que la force vive du projectile sera plus grande, c’est-à-dire, d’une part, qu’il sera plus gros, ou plutôt que son inertie sera plus grande, et, d’autre part, qu’il sera plus rapide. Elle sera, au contraire, d’autant moins tendue que la force déviante sera plus grande, c’est-à-dire que leur charge électrique sera plus grande. C’est tout à fait analogue à ce qui se passe pour notre artillerie. Supposons maintenant que nos rayons traversent un champ magnétique ; on sait que le champ magnétique agit sur les courants. Or un rayon β, c’est un courant, puisque c’est un transport d’électricité. La force déviante qui sera proportionnelle à ce courant sera donc, d’une part, d’autant plus grande que la charge sera plus grande, ainsi qu’il arrivait tout à l’heure dans le cas du champ électrique ; mais, de plus, elle sera d’autant plus grande que la vitesse du projectile et, par conséquent la vitesse de cette charge électrique, sera elle-même plus grande.


On conçoit donc, sans qu’il soit nécessaire de faire de calcul, que la comparaison de ces deux déviations nous fera connaître deux choses, la vitesse d’une part, et d’autre part, le rapport de l’inertie à la charge. Les expériences les plus récentes sont celles de M. Bucherer (description de l’appareil de M. Bucherer).


Quel a été le résultat de ces expériences ? Nous avons des raisons d’admettre que tous les projectiles sont identiques et ont même charge ; et qu’ils ne diffèrent que par leur vitesse. Alors, si leur inertie ne dépendait pas de leur vitesse, on trouverait que le rapport de la charge à l’inertie est constant ; c’est le résultat auquel conduirait l’ancienne mécanique ; ce n’est pas celui auquel conduisent les expériences de MM. Kaufmann et Bucherer ; il y a une relation entre la vitesse des diverses sortes de rayons β et le rapport de l’inertie à la charge et cette relation nous montre que l’inertie croît avec la vitesse, ce qui est conforme aux principes de la mécanique nouvelle.


Voilà donc une des preuves invoquées par les novateurs à l’appui de leurs idées. Il y a un autre ordre de preuves, empruntées à des considérations tout à fait différentes. Vous savez en quoi consiste le principe de relativité.


Je suppose un observateur qui se déplace vers la droite ; tout se passe pour lui comme s’il était au repos, les objets qui l’entourent se déplaçant vers la gauche : aucun moyen ne permet de savoir si les objets se déplacent réellement, si l’observateur est immobile ou en mouvement. On l’enseigne dans tous les cours de mécanique, le passager sur le bateau croit voir le rivage du fleuve se déplacer, tandis qu’il est doucement entraîné par le mouvement du navire. Examinée de plus près, cette simple notion acquiert une importance capitale ; on n’a aucun moyen de trancher la question, aucune expérience ne peut mettre en défaut le principe ; il n’y a pas d’espace absolu, tous les déplacements que nous pouvons observer sont des déplacements relatifs. Ces considérations, bien familières aux philosophes, j’ai eu quelquefois l’occasion de les exprimer ; j’en ai même recueilli une publicité dont je me serais volontiers passé ; tous les journaux réactionnaires français m’ont fait démontrer que le Soleil tourne autour de la Terre ; dans le fameux procès entre l’Inquisition et Galilée, Galilée aurait eu tous les torts.


Source : Poincaré (Henri), la Mécanique nouvelle, conférence, mémoire et notes sur la théorie de la relativité, Sceaux, Éditions Jacques Gabay, 1989.
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