Funktionsuntersuchung einer gebrochen rationalen Funktion?

Question

Hallo,
ich habe eine Funktion:
f(x)= (-x^3-3x^2-3x) / (x^2+2x+1)
Das erste Problem sind die Ableitungen. Ich habe rausbekommen:

f´(x)= (-x^4-4x^3-6x^2-6x-3) / (x+1)^4

----> -(x^4+4x^3+6x^2+6x+3) / (x+1)^4

laut Computer kommt raus:

f´(x)= -(x^3+3x^2+3x+3) / (x+1)^3

ist das das selbe? bzw. wie komme ich von meiner Ableitung (falls richtig) auf die von dem Computer errechnete?

2. Wie berechne ich die Extremwerte?

f´(x)=0 ---> 0= -x^3-3x^2-3x-3

Falls mir jemand helfen kann wäre ich sehr, sehr dankbar.

mfg
Christian

Answer 1

Gegeben:
f(x)=(-x³-3x²-3x)/(x²+2x+1) ; x²+2x+1=(x+1)² ≠0 => x≠0 nd

Versuche der Funktionsausdruck mit Polynominaldivision zu vereinfachen:
-x³-3x²-3x : x²+2x+1 = -x-1 +1/(x+1)²
-x³-2x²- x ....................==========
--------------
0 - . x²-2x
0....-x²-2x-1
----------------
0.....0....0...1
-----------------------------------------------------------
f'= -1-2/(x+1)³ =>
f'=0 <=> 0= -1-2/(x+1)³ <=>
(x+1)³= -2 => x = -³√ (2) -1≈ -2,26

Vorzeichenanalyse für f'(x)


..- - - -0+ + + + +x - - - - - - - -
_____l_______nd_______
.......-2,26...........-1

f'(-2)= -1-2/(-2+1)³=1>0
f´(-3)= -1-2/(-3+1)³= -1/4<0
f(0)= -1-2/(0+1)³= -3 <0

Wir können nun eine grobe Skizze des Graphen machen:
.....\.........../....\....
..........\_/............\
...... __1__ nd_______
.......-2,26.....-1

Bestimmung von Asymptoten:
x → - ∞ => -x-1 +1/(x+1)² → - x-1
x → + ∞ => -x-1 +1/(x+1)²→ - x-1
x → -1(+) => -x-1 +1/(x+1)²→ +1/(x+1)²→ + ∞
x → -1(-) => -x-1 +1/(x+1)²→ +1/(x+1)²→ + ∞
Das gibt 2 Asymptoten:
1) y=-x-1..........Schräg
===================
2) x= -³√ (2) -1 Senkrecht
===================
Minimum für x= -³√ (2) -1 =>
f(-³√ (2) -1)= -(-³√ (2) -1)-1+1/((-³√ (2) -1) +1)²=
³√ (2) +1/1/(³√ (2) )²=
2+1/³√ (2) ≈1,89
=============
Wir können nun sagen, das es nur gibt 1 Nullpunkt wegen der Analyse
F(0)=0 <=>-0-1 +1/(0+1)²= 0
======================

Answer 2

Schaue mal genau auf die Gleichung. Im Zähler steht ein Binom, bei dem nur die 1 fehlt. Also wird im ersten Schritt die Gleichung erst einmal drastisch vereinfacht:

Zähler: -(x³+3x²+3x+1-1) = -[(x+1)³-1] = -(x+1)³+1
Nenner x²+2x+1 = (x+1)²

Nun führst du eine Polynomdivision durch und teilst den Term durch den Nenner und du erhältst den folgenden Term:

y = -(x+1)+1/(x+1)² oder noch einfacher

y = -(x+1) + (x+1)^-2

Du hast die gebrochen rationale Funktion in die ganz rationalen und gebrochen rationalen Terme zerlegt, was die nachfolgenden Ableitungen vereinfacht. Leider sind Computer doof und tun nur das, was man ihnen sagt, deshalb ist dein Ableitungsterm so komplex.

damit wird die erste Ableitung

y' = -1 + [-2(x+1)^-3] (äußere Ableitung mal innere Ableitung)

im einzelnen: äußere Ableitung -2(x+1)^-3
innere Ableitung (von x+1) = 1

y'' = -3*-2(x+1)^-4 = 6(x+1)^-4

y'''= -4*6(x+1)^-5

So, damit dürfte dir genug Hilfestellung gegeben sein. Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Zähler 0 setzt, nimm dazu die erste Gleichung -x(x²+3x+3)=0

x1=0, x2/3 erhältst du aus der Lösung der verbleibenden quadratischen Gleichung

Den Rest machst du bitte selbst, Stetigkeit prüfen, Asymptoten und Minima/Maxima und Wendepunkte bestimmen!

@sb

Sorry, aber das ist Unsinn. Der Zähler ist ein Polynom 3. Grades.

-x³-3x²-3x = -x(x²+3x+3)

Damit lassen sich alle 3 Nullstellen eindeutig bestimmen:

x1 = 0

x²+3x+3 = 0

x1,2 = -1.5 ±√(1.5²-3) = -1.5 ±√-0.75 = -1.5±0.5i√3

das heißt, dass die Lösung der quadratischen Gleichung wegen der negativen Diskriminate konjugiert komplex ist und für die weitere Kurvendiskussion kein Rolle spielt

@dr. broadbrain

Du kommst nach der Polynomdivision auf das gleiche Ergebnis. Ich denke aber, dass es bei dieser Aufgabe Absicht war, den Zählerterm über die Ergänzung zu einem Binom zu vereinfachen, Die Koeffizienten des Terms (in x) sind 1 3 3 und zur Vervollständigung des Pascalschen Dreiecks fehlt nur noch die finale 1

1
1 2 1
1 3 3 1

Die Kürzung gleicher Terme ist definitiv einfacher zu bewältigen als eine Polynomdivision.

Auch die Ableitungen der Funktin lassen sich mit dem Verfahren der inneren und aüßeren Ableitung einfacher durchführen als mit der Quotientenregel.

y = f(x) --> y' = f'(x)*x'

y = (x²+1)³ --> y' = 3(x²+1)² * 2x

mal als Beispiel.

Answer 3

zu 1.) schau doch mal nach, ob x=-1 eine Nullstelle vom Zähler ist, wenn ja: mache eine Polynomdivision und vergleiche die beiden Zähler miteinander.

zu 2.) da bleibt nichts anderes übrig als eine Nullstelle zu raten und ebenfalls eine Polynomdivision durchzuführen.
Denke aber daran das die Nullstelle des Zählers keine Nullstelle des Nenners sein darf.

mfg
Sven