Déterminer tous les entiers n pour lesquels (n-1)(n²+n+1)(n+1)(n²-n+1) est divisible par 9 ?

Question

niveau spé math

un ptit indice parce que je vois que vous peinez pour n=1,2,3,...10. les valeurs de n qui sont divisibles par 9 sont 1,2,4,5,7,8 et 10.

Answer 1

Si tu regardes les racines de ton polynome en n tu remarqueras que ce sont les six racines sixièmes de l'unité.
Donc le polynome s'écrit n^6-1, ce qui est beaucoup plus sympa non?
En fait non cela ne sert à rien lol. Travaille sur la forme initiale. Discute en fonction de la congruence de n modulo 3.
si n congru à 1, n-1 congru à 0 et n²+n+1 aussi donc ces nombres conviennent (produit de deux multiples de 3).
Si n congru à -1, n+1 congru à 0 et n²-n+1 aussi donc ces nombres conviennent aussi.
Si n multiple de 3 alors le produit sera congru à -1 modulo 3 et cela ne marchera pas.
Les solutions sont donc tous les entiers sauf les multiples de 3.
Alors sceptico on a craqué? Elle fait peur ta démo lol

Answer 2

Si n est multiple de 3 alors aucun des facteurs n'est multiple de 3 donc le produit n'est pas multiple de 9.
si n est multiple de 3 plus 1 alors modulo 3 on a
n²=1 donc n²+n+1=3=0 et n-1=0 donc le produit est multiple de 9
si n est multiple de 3 mois 1 alors modulo 3
n²=1 donc n²-n+1=1-(-1)+1=3=0 et n+1=0 donc le produit est multiple de 9
résumé:n ne doit pas être multiple de 3.

Answer 3

La solution se trouve en discutant selon la valeur de n modulo 3
n = 0 [3] => Le produit n'est pas divisible par 3 (donc pas par 9)
n = 1 [3] => n-1 et n²+n+1 sont divisibles par 3, le produit est divisible par 9
n = -1 [3] => n+1 et n²+n+1 sont divisibles par 3, le produit est divisible par 9

Le produit est divisible par 9 pour tout n non multiple de 3.

Answer 4

on vérifie trivialement que
n^6-1= 0 modulo 9 si n=+-1 ou +-2 ou +-4
mais pas si n=+-3 ou 0
toutes les égalités sont "modulo 9"

Answer 5

Le produit est égal à n^6-1 et il faut qu'il égale 9k, k entier: n^6=9k+1 ce qui est exact si n=9p+1, la congruence étant multiplicative!
Démo si n et p sont congrus à 1, alors n*p aussi: n*p=(9k+1)*(9l+1)=9(9kl+k+l)+1=9m+1
Les entiers de reste 1 dans la division par 9, congrus à 1 modulo 9 sont une partie de la réponse! Il y a aussi tous les entiers congrus à n modulo 9, tels que n^6 congru à 1: c'est vrai pour 2 car 2^6=64 congru à 64-63=1, 4 et 8 aussi bien sûr car puissances de 2, 5 aussi car 5^3=125 congru à -1, 7 aussi car 7^2 congru à 4 donne 7^6 congru à 4^3=64 ou 1!
Finalement seulement les nombres congrus à 3, 6, et 0 qui ne conviennent pas, tous les autres sont bons!!
Pas niveau math spé, mais Term S!

Answer 6

moi je sais. Mais j'aurais pas ton bac à ta place alors réfléchis: juste un indice, divisible par 9 ça revient à dire que c'est divisible, pour tout n appartenant à N entiers naturels, à 9n..., donc, quand Un+1: 9(n+1) Bonne chance...

Answer 7

j'ai presque un début d'érection , la.

Answer 8

bon je vais me coucher... ou plutôt regarder le match !