2006-10-10 02:39:50 · 6 réponses · demandé par Ibrahim D 1 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Dylasse est bien arrivé mais mal parti. En effet lors d'une division par un entier quelconque les décimales ne se répètent qu'à partir d'un certain moment, et cela n'a pas de raison de commencer à partir du premier chiffre!
Exemple pour que l'on comprenne mieux.
Si l'on considère 1/7, l'écriture est: 0,1428571428... et là le raisonnement de dylasse fonctionne bien.
En revanche pour 1/70, on obtient: 0,01428571428... et on voit bien que la première décimale, le 0, ne se répète pas. En outre, la longueur de la période (6) ne correspond pas à un diviseur de 69.
En fait, dylasse a appliqué un résultat qui n'est vrai que pour un diviseur premier! Heureusement tout s'arrange car 1993 est effectivement premier (on vérifie qu'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à sa racine: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 et 43).
La fin du raisonnement de dylasse est donc miraculeusement valable.
Réaction à l'ajout de dylasse: tu avais donc vu à l'oeil nu que 1993 était un nombre premier puisque tu n'as pas pris la peine de le vérifier! Tu es donc un super-génie du calcul mental ou alors tu as appris des centaines de nombres premiers par coeur...
Et une nouvelle fois, la période qui commence à la première décimale, ce n'est valable que si le nombre est premier. La preuve, dans 1/70, la première décimale ne se répète jamais.
Enfin, pour ce qui est de la longueur de la période, la démonstration est loin (mais alors très loin) d'être convaincante. On montre en fait que si l'on divise un entier x par un autre entier n tel que x et n sont premiers entre eux, alors la suite des restes sera cyclique (i.e. prendra toutes les valeurs possibles sauf 0). Ce résultat se démontre en utilisant l'identité de Bezout.
2006-10-10 05:21:38 · answer #1 · answered by italixy 5 · 0⤊ 0⤋
Les décimales d'une fraction de la forme 1/D se répètent à une fréquence F égale à D - 1 (ou à une valeur inférieure - diviseur de F - en cas de propriété particulière avec 10, la base). Donc les décimales de 1993 se répètent avec une fréquence de 1992
La 1993ème décimale est donc égale à la première : c'est-à -dire 0.
Complément : merci italixy... il n'y a pas de miracle la dedans, j'avais juste oublié de mentionner que D devait être un nombre premier.
Par contre, la période commence, comme je l'énonçais, dès la première décimale. On peut le montrer en remarquant que les 1992 premiers restes de la division euclidienne de 1 par 1993 sont tous différents, sinon la période serait plus courte que 1992, et qu'ils couvrent donc l'ensemble des nombre de 1 à 1992. Le 1993ème reste est donc égal à un des 1992 précédents et ne peut être égal qu'au premier (sinon la période serait plus courte !).
2006-10-10 11:02:13 · answer #2 · answered by dylasse 3 · 2⤊ 1⤋
ouh, la j'entends des trucs bizarres:
1 et 3 sont premiers entre eux et pourtant 1/3=0.333333...
alors oui c'est periodique, et non toutes les decimales possibles ne sortiront pas.
cela dit, le fait que quand on divise a par b, la suite des decimales du resultat admet une periode a partir d'un certain rang n'a pas grand chose a voir avec bezout.
2006-10-11 09:38:04 · answer #3 · answered by trash k 2 · 0⤊ 0⤋
à l'avenir, si tu as encore ce genre de questions, je te conseille de trouver un algorithme qui te permette de trouver la fréquence de répétition des décimales (les choses sont complexes si on recherche l'inverse des nombres autres que premiers)
2006-10-10 13:49:49 · answer #4 · answered by capitaine flam 2 · 0⤊ 0⤋
Avec MS Excel, tu peux démembrer un calcul en fragments suffisamment petits pour que Windows arrive à calculer avec.
Si c'est pour une histoire de clé RIB, il me semble qu'on divise par 1997, pas par 1993...
2006-10-10 11:00:49 · answer #5 · answered by . 4 · 0⤊ 0⤋
ben tu poses ta division sur papier ! attention aux crampes de poignets ! lol
2006-10-10 10:21:51 · answer #6 · answered by yerem.kanar 4 · 0⤊ 0⤋