¿Alguien me puede aclarar una duda sobre una distribución continua de probabilidad?

Question

Por un lado, en una distribución de probabilidad continua, la probabilidad de que ocurra un suceso es 0 (sólo hay probabilidad de que ocurra un intervalo).

1 Un objeto que va a caer en una superficie tiene infinitos lugares donde puede hacerlo

2 La probabilidad de que caiga en uno de ellos por lo tanto es 0

3 Sin embargo, lo dejas caer y cae en algun lugar (obviamente)

4 Es decir, se produce un suceso con probabilidad igual a cero

¿Alguien me puede decir qué esta mal en el planteamiento?

chesslarus, me refiero a que en distribuciones continuas, la probabilidad de un suceso aislado es 0. Pj la probabilidad de que el metro llegue a las 13:25:02 segundos exactamente es 0, pero la probabilidad de que llegue entre las 13:25:01 y 13:25:03 es mayor que cero

sabut dijo:

que pasa en realidad, pues que el objeto no cae en el suelo en un solo punto, sino que el punto tiene extension (es un intervalo o un subconjunto de medida no nula), con lo que la probabilidad que caiga en un cierto punto, A PRIORI, no es nula.

Pero yo creo que:
suponiendo que el objeto es una esfera, salvando irregularidades, rugosidades y demás imperfecciones de las superficies, sólo existiría un punto de contacto (sin extensión, puesto que sería el punto donde se unen el plano tangencial con la esfera), no un intervalo ni un área de contacto.

Lo que me extraña del tema, es que yo siempre pensé que un suceso con probabilidad 0 supuestamente es imposible que ocurra

Answer 1

primero, decir un par de cosas: una cosa es la ciencia de la probabilidad y la otra es la estadistica. ambas son parte de las matematicas, y rigurosas, y no hay que confundirlas con las 'estadisticas' que oimos a diario en los medios de comunicacion, que poco tienen de rigurosas o cientificas.

segundo, la probabilidad d'un suceso concreto en una distribucion contrinua no es 'cercano a zero', es zero por definicion. la medida de un suceso es nula, es decir, no tiene 'peso', de la misma manera que cuando integras un solo 'punto', este no tiene longitud, peso o area. es un punto adimensional.

tercero, donde esta la paradoja? confundes dos cosas: calcular la probabilidad de un cierto suceso, por ejemplo, la coordenada de caida es x = 0.0, con 'el objeto ha caido en un lugar'. Obviamente, una vez ha caido, la probabilidad que haya caido en ese lugar concreto es 1, ya que el suceso ya ha pasado!. Sin embargo, si piensas a priori 'que probabilidad hay que caiga en la coordenada x = 0.0', la probabilidad P( x = 0.0 ) = 0.0 desde el punto de vista matematico. es decir, que a priori nunca acertarias la coordenada EXACTA.

esto no tiene ningun misterio: piensa en terminos matematicos. en el intervalo [0, 1] hay un continuo de numeros reales, es decir, infinitos. a grosso modo, pues, la probabilidad de cada uno seria 1/{numero de valores posibles}, pero como hay infinitos, la prob. de cada uno seria zero (no infinitamente pequen~a, zero y ya esta).

que pasa en realidad, pues que el objeto no cae en el suelo en un solo punto, sino que el punto tiene extension (es un intervalo o un subconjunto de medida no nula), con lo que la probabilidad que caiga en un cierto punto, A PRIORI, no es nula.

y te vuelvo a repetir, no confundir con calcular una probabilidad 'a priori' con hacerlo 'a posteriori'. Cuando tiras un dado y quieres saber que probabilidad hay que salga un cinco, esto lo haces antes de tirar el dado, no despues, ya que entonces la prob o es zero o es 1, ya que el suceso ya ha pasado.

Answer 2

Discrepo de lo comentado por el amigo que respondió anteriormente.

La Estadística es una rama de las matemáticas que con base en el análisis de datos permite obtener una conclusión de un fenómeno en estudio.

Cómo se manipula la Estadística no es problema de la disciplina en sí, sino de quién la emplea (para bien o para mal).

Regresando a tu planteamiento de la Distribución contínua, creo que el problema consiste en la definición que das de probabilidad en todo el intervalo.

Al contrario de lo que comentas, la suma TOTAL bajo la curva de distribución siempre es igual a UNO no igual a cero, mas bien, en los extremos de la curva de distribución (que está más alejada de la media poblacional al menos en la curva normal que es la más común) , dicha área tiende a cero, por lo que un evento que ocurra en esos extremos dentro del universo o población total, puede ser próxima a cero.

De acuerdo a la definición axiomática de probabilidad, el valor cero se dá cuando NO ocurre el evento esperado.

En tu ejemplo, si sueltas un objeto con un infinito número de lugares donde caer, la probabilidad de que lo haga en un lugar DETERMINADO puede ser muy cercana a cero, pero NO IGUAL a cero, ya que dependera cuáles sitios de tu superficie son más o menos favorecidos para que caiga el objeto (el sitio donde más veces caiga representará tu media poblacional).

Answer 3

pero es q tu variable aleatoria segun lo entiendo son los posibles puntos donde cae,y eso no es continuo,es una discreta.
ademas yo diria q se distribuye segun la uniforme en n puntos q asigna probabilidades identicas a un conjunto finito d puntos siendo
P[X=xi]1/n i=1,..,n
y su distribucion F(x)=

0 si x k/n si xk 1 si x>xn

Answer 4

Tenemos que saber el número total de puntos de la superfície
són no numerables.Lo que podemos hacer es calcular el área de ese recinto que como sabemos lo calcula la integral que no es más que una suma en el infinito.Si la medida del área es a unidades cuadradas lo ponemos en el denominador como la fórmula de Laplace.Arriba nos quedará la medida de un punto que es cero.Un punto definido geométricamente no tiene ni medida ni grosor, no es una distancia,ni un área.Tendrías que plantearte la pregunta de que cayera en un recinto contenido en el anterior. El objeto no cae en un punto si es un objeto de dimensión dos, cae dentro de un recinto.Si es de dimensión tres nos interesa donde puede caer y también será el área por la parte donde cae. Y un objeto evidentemente no es un punto. Lo más pequeño que se conoce son los quarks que están dentro de los protones y eso tiene una medida ya sea de volumen o del diámetro. Si tienes un lápiz por ejemplo de 10cm de longitud y 1 de ancho y quieres saber la probabilidad de que corte a un lado
de una baldosa.Tienes que considerar los casos posibles que son el área de la baldosa,si son de 30cm el área es de 900cm2.¿Dónde puede caer el lápiz para que corte a la baldosa?
Si lo calculas te sale un área dentro del cuadrado y aplicas Laplace. Evidentemente el Lápiz no cae en un punto sino en un conjunto no numerable de puntos que se pueden medir con el área utilizando la integral.

Answer 5

El error está en que el objeto tiene una superficie y va a caer sobre una superficie igual, es decir, si idealizas el objeto como un punto podemos decir que es cero, en forma práctica se puede decir que hay infinitos lugares donde puede caer, la probabilidad que caiga en uno especifico sería: p=1/∞, el límite es cero, es lo que consideramos.

Answer 6

La probabilidad de que ocurra un evento puntual no es cero, sino infinitamente cercana a cero.

Coincido con cheslarus (o como se escriba) en que la probabilidad de un evento puntual no es cero... si cae en algún lugar de la curva de distribución es completamente ilógico que sea cero, quien te haya dicho eso está equivocado. La probabilidad de que ocurra un evento puntual es "cercana a cero", mas no "cero", ahí está el error de tu planteamiento.

Pensemos: cualquier suceso puntual puede ser interpretado como un intervalo. Cualquier suceso por puntual que sea consta de un intervalo.

Si quieres calcular la probabilidad de que en algo obtengas un 3, la probabilidad de esto no es cero, sino que es la suma de las probabilidades de que ocurra cualquier evento entre 3.0000...00 y 3.99999999...(número infinito de decimales). O si te refieres a exactamente 3 la probabilidad será igual 1 menos la del intervalo de todo lo que no es 3, es decir del intervalo entre 2.99999999(nueves hasta el infinito)999 y 3.000000(ceros hasta el infinito)001.

Así, cualquier suceso puedes interpretarlo como una suceción de intervalos infinitamente pequeños, por ello nunca obtendrás una probabilidad de cero, a menos que el suceso esté fuera del espacio muestra. Y por ello es que se utiliza el cálculo integral (al que Newton llamaba "cálculo infinitesimal") para calcular esas probabilidades. Y lo que se hace es sumar las probabilidades de todos los intervalos infinitamente pequeños que componen tu evento, si cada uno de esos fuera cero la suma sería cero, por lo tanto las probabilidades individuales de cada uno de ellos es mayor que cero.

Saludos!

Answer 7

Yo te diré lo que está mal: suponer que la estadística es una parte de las matemáticas cuando no es para nada exacta. Y esto lo digo precisamente por cuestiones como la que planteas. ¿Qué se puede esperar de una "ciencia" que ni siquiera sabe definir el concepto sobre el que trabaja? ¡Desterremos la idea de estadística dentro de las matemáticas! Yo al menos estoy en contra.