Quel est le lien?

Question

Entre les sommes
An = ( 1+2+...+n) et
Bn = (1³+2³+...+n³)
Si possible avec démonstration!

Answer 1

An^2=Bn
Demo par recurrence: on suppose An^2=Bn vrai.

Calculons A(n+1)^2-B(n+1), noté C

C=(1+2+...+n+(n+1))^2 - (1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3)
C=(An+(n+1))^2 - (Bn+(n+1)^3)
C=An^2 + 2*An*(n+1) + (n+1)^2 - Bn - (n+1)^3

d'apres l'hypothese An^2=Bn on a alors:

C=2*An*(n+1)+ (n+1)^2 - (n+1)^3
C=(n+1)*(2*An+(n+1)-(n+1)^2)
C=(n+1)*(2An - n*(n+1))

Montrons que An=(n*(n+1))/2, toujours par recurrence (c'est une relation connue).
On suppose la formule vraie a l'ordre n, qu'en est-il a l'ordre (n+1) ?

A(n+1)=An+(n+1)
A(n+1)=n*(n+1)/2+(n+1)
A(n+1)=(n+1)*(n/2+1)
A(n+1)=((n+1)*(n+2))/2

supposé vrai à l'ordre n, verifié à l'ordre (n+1), An=(n*(n+1))/2 est vrai quel que soit n>=1

Ainsi C=0
donc A(n+1)^2=B(n+1)

supposé vrai à l'ordre n, verifié à l'ordre (n+1), An^2=Bn est vrai quel que soit n>=1

Answer 2

le lien est : (An)² = Bn

exemple :

An = 1 + 2 + ... + 10 = 55
Bn = 1 + 2^3 + ... + 10^3 = 3025

or 55²=3025
______________________________

Bn = somme [n=0 => N-1] (1+n)^3

or : (1+n)^3 = 1 + 3n + 3n² + n^3

d'où : Bn = somme [n=0 => N-1] (1 + 3n + 3n² + n^3)

soit :

Bn = Sum (1) + Sum (3n) + Sum(3n²) + Sum(n^3)

... en développant ... ça doit marcher ... j'y reviendrai plus tard ... j'ai des choses urgentes à faire ...

Answer 3

An = n*(n+1)/2

Bn = [n*(n+1)/2]²

Donc Bn = An²

Mais désolé je n'ai plus la démonstration.

Answer 4

En maths, il faut faire simple!
On voit que Bn=An^2 facilement pour n=1,2,3, (1 et 1, 3 et 9, 6 et 36) ça suffit pour lancer la récurrence, supposons la formule vraie pour n. Alors, pour n+1:
(A(n+1))^2=(An +(n+1))^2=An^2 +2(n+1)An+(n+1)^2 et la formule de An est donnée dans les cours An=n(n+1)/2, ça devient:
(A(n+1))^2=Bn + n(n+1)^2 +(n+1)^2= Bn + (n+1)^3= B(n+1) vrai pour 1, donc vrai pour tout n CQFD!!

Answer 5

La formule An^2=Bn peut se montrer sans récurrence. Et c'est beaucoup plus simple et élégant sans! Il suffit pour cela de réorganiser le produit de An par lui-même pour faire apparaître des cubes.
On développe d'une façon particulière:
(1+2+...+n).(1+2+...n).
On associe les deux "1": on a donc le produit 1.1=1=1^3
On associe les "2" des deux parenthèses entre eux ainsi qu'aux nombre inférieurs non encore pris: 1.2+2.1+2.2=8=2^3
On associe les "3" selon la même méthode:
1.3+2.3+3.1+3.2+3.3=27=3^3
Cela donne, pour un nombre k inférieur ou égal à n quelconque:
1.k + 2.k + ... + (k-1).k + k.1 + k.2 + ... k.(k-1) + k^2
Soit: 2.k.[1+2+...k-1] + k^2 = k.k.(k-1) + k^2 (on utilise la formule An=n.(n+1)/2 et au besoin on la démontre par une récurrence rapide, par exemple).
Le terme associé à k est donc bien k^3.
Et voilà...

Answer 6

Trouvons la somme Bn de la première première progression géométrique. Ensuite,on en déduira la somme Bn de la seconde progression géométrique.

Soit 1 + 2 + 3 + ... + n (1)
Soit n + n-1 + n-2 + ...+ 1 (2)
additionnons
(1) et (2) : (n+1) +(n+1)+(n+1) (nombres
groupés par 2 , n/2 fois
On a : n/2(n+1)

d'où : An= n(n+1)/2 c.q.f.d.


De plus, u1 = 1
u2 = 1 +2 = 3
u3 = 1 + 2 +3 = 6
u4 = 1 + 2 +3 + 4 = 10

etc
un = n(n + 1)/2





Bn= (1^3 + 2^3 +3^3 + 4^3 + ...+ n^3)

u1 = 1 =1^3
u2 = 1 + 8 = 9 = 3^2
u3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2
u4 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100=10^2

etc

un = [n(n+1)/2]^2 (3)

La formule Bn = [n(n+1)/2]^2 a été déduite en comparant
le développement des ''un'' de la progression géométrique
An avec les ''un'' de celle de Bn. Parce que la notation n(n+1)/2 est commune à An et Bn. On en déduit donc (3).

Answer 7

Si tu ne sais pas choisi la branche litteraire