Es una urgencia,Porque el conjunto VACIO es un subespacio verctorial?

Question

estoy hablando del espacio verctorial Real

Answer 1

El conjunto vacio conjunto vacío es el conjunto matemático que no tiene ningún elemento y que cumple:Ø={x ∀ x ≠ x}. Se representa con el símbolo Ø o simplemente como {}. Algunas de sus propiedades son:

Para cualquier conjunto A, el conjunto vacío es un subconjunto de A: {} ⊆ A.
Para cualquier conjunto A, la unión de A y el conjunto vacío es A: A ∪ {} = A.
Para cualquier conjunto A, la intersección de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío: A ∩ {} = {}.
El único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío.
La cardinalidad del conjunto vacío es cero.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo"

Answer 2

por que verifica las propiedades.
es cerrado para la suma y para el pruducto por escalares,al vacio se le denomina subespacio impropio

Answer 3

Por que cumple todas las propiedades de un espacio vectorial por simple vacuidad. Si no me creéis, busca elemento de vacío que no cumpla alguna propiedad

Answer 4

un espacio vectorial es aquel que sus elementos, sean lo que sean, tienen la operacion de adicion (suma interna) y producto por un escalar (en tu caso, real). un subespacio es un subconjunto que conserva las propiedades de espacio vectorial. obviamente, el conjunto vacio cumple las propiedades de espacio vectorial ya que no contiene ningun elemento que las contradiga y, portanto, todos sus elementos las cumplen. aunque no contenga ningun elemento.

en cualquier particion de un cierto conjunto en subconjuntos, uno de los que siempre aparecen son los conjuntos triviales, el conjunto en si (todo) y el conjunto vacio (nada). en general, el conjunto vacio no tiene porque cumplir una cierta propiedad (contener numeros pares, por ejemplo). aunque hay ciertos casos en que es util que las propiedades que definen conjuntos tengan tambien en cuenta a los triviales.

en el caso de la definicion de espacio vectorial, es util que el conjunto vacio tambien lo sea, ja que representara cualquier subespacio de dimension zero.

Answer 5

DEFINICIÓN

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.

TEOREMA 1

Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que


x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar.

Lo anterior dice que:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

Answer 6

Como el vacío no tiene elementos, cualquier cosa que se diga de sus elementos es cierta. En ese sentido, el vacío lo cumple todo. Por ejemplo, si dos vectores están, la suma está. Pues eso es cierto en el vacío porque para que fuera falso tendrían que existir dos vectores tales que su suma no estuviera, pero no existe ninguno, luego tiene que ser verdad. El vacío, como el infinito, es complicado de pensar para alguien que no estudia matemáticas, y quizás no se vea fácilmente que las cosas en el vacío son ciertas, pero te reto a que hagas algo: Trata de demostrar que es falso. Ya verás como no puedes.

Answer 7

¿El conjunto vacío es un subespacio vectorial de IR a la n?

Pues creo que estás equivocado, pues el espacio vectorial más pequeño es el {0}. Por si no sabías, sea U un subespacio vectorial de V, debe cumplir que:

Para todo a,b que pertenecen a IR, y para todo v, w que pertenecen a U, se cumple que:

1. v + w pertenece a U
2. a*v pertenece a U

O equivalentemente, a*v + b*w pertenece a U.

En caso de que vacío fuera un espacio vectorial, ¿qué elementos v, w podrían satisfacer la definición, si vacío no tiene elementos?

Como dije, el espacio vectorial más pequeño es el formado por el {0}, pues sea un u = w = 0 (el único elemento de U). Luego para cualquier a, b, a*u + b*w = 0 + 0 = 0 y éste pertenece a U.

Espero lo hayas comprendido, saludos.

Answer 8

fijate que cumple todas las condiciones para ser un espacio vectorial y por razones ovias esta siempre dentro de otro espacio, comprobalo
saludos

Answer 9

el vaci siempre existe lo q pasa es como lo llenas

Answer 10

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS

Espacio vectorial real Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

Si x V y Y V, entonces x+y V (cerradura bajo la suma)

Para todo x,y y z en V, (x+y) = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)

Existe un vector 0
V tal que para todo x
V, x+0 = 0+x=x

(el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

Si x V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)

Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

Si x
V y a es un escalar, entonces a x
- V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

Si x y y están en V y
es un escalar, entonces
(x +y) =
x +
y (primera ley distributiva)

Si x
V y
y
son escalares, entonces (
+
)x =
x+x (Segunda ley distributiva)

Si x V y y son escalares, entonces (x) = ()x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)

Para cada vector x V, 1x= x

EJEMPLO 1


El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,...,n.

Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo


0= y -x= , se ve que los axiomas ii) ax ) se obtienen de la

definición de matrices.

SUBESPACIOS

DEFINICIÓN

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.

TEOREMA 1

Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que


x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar.

Lo anterior dice que:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

EJEMPLO

El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto 0 que consiste en el vector cero nada más es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para todo número real a.

TEOREMA 2

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces

H1 H2 es un subespacio de V.

5.3 INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio de álgebra lineal, una de las ideas centrales es la dependencia o independencia lineal de los vectores.

DEFINICIÓN

Dependencia e independencia líneal sean v1, v2, ..., vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son lineamientos dependientes si existen n escalares no todos cero tales que

C1 v1 + c2 v2 + ... cnvn = 0

Si los vectores no son lineamientos dependientes, se dice que son lineamientos independientes.

TEOREMA 1

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro.

TEOREMA 2

Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n>m.

TEOREMA 3


A=

Entonces las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y solo si el sistema , que se puede escribir como Ac = 0, tiene soluciones no triviales.

TEOREMA 4

Sean v1, v2, ..., vn, n vectores en Rn y sea A una matriz de n*n cuyas columnas son v1, v2, ..., vn. Entonces v1, v2, ..., vn son linealmente independientes si y sólo si la única solución al sistema homogéneo Ax= 0 es la solución trivial x=0.

TEOREMA 5

Sea A una matriz de n*n. Entonces det A = 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.

TEOREMA 6

Cualquier conjunto n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn

EJEMPLO

Dos vectores linealmente dependientes en R4



Los vectores v1= y v2= son linealmente dependientes ya que v2= -3v1.

5.4 BASES Y DIMENSIÓN

DEFINICIÓN

Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espacio vectorial V si

v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente

v1, v2, . . ., vn genera V.


Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn

En Rn se define



Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn.

EJEMPLO

Base canónica para M22 que , , y generan a M22

Si

= C1 + C2 + C3 + C4 = , entonces es obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. Así, estas matrices son linealmente independientes y forman una base para M22 .

DEFINICIÓN

Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.

EJEMPLO

La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye una base, se ve que

Dim Rn = n

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

DEFINICIÓN 1

Espacio con producto interno.- Un espacio vectorial complejo V se llama espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un número complejo único (u,v), llamado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y

C, entonces




EJEMPLO

Un producto interno en Rn Rn .- es un espacio con producto interno con (u, v)= u * v.

DEFINICIÓN 2

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v estan en V. Entonces

i. U y v son ortogonales si (u, v) = 0

La norma de u, denota por u, esta dada por

U =


Nota: A la u se le pone doble barra para evitar confusión con el valor absoluto

EJEMPLO

Dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3, -1) y (2, 6i) son ortogonales porque

((3, -1), (2, 6i)) = 3*2 + (-i)(6i) = 6 + (-i)(-6i) = 6 -6 = 0 además (3, -i)) = = .

DEFINICIÓN 3

Conjunto ortonormal .- El conjunto de vectores v1, v2, . . ., vn es un conjunto ortonormal en V si

(vi, vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIÓN 4

Complemento ortogonal.- Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, está dado por


H = x
V : (x, h) = 0 para todo h
H