Comment procède t-on pour connaitre la valeur de pi? Si vous connaissez la formule,merci de m' aider.?

Answer 1

PI = 16arctg(1/5) - 4arctg(1/239)

Answer 2

Pi a une infinité de décimales. Selon la précision que tu désires, si tu veux faire le calcul, tu peux utiliser Pi=4 x (1-1/3+1/5-1/7+1/9.......)
La limite de ce développement est 4 Pi, et la convergence assez rapide.

Answer 3

Il n'existe pas de formule simple pour avoir une valeur exacte, car c'est un nombre irrationnel et même transcendant: on ne peut l'exprimer que sous forme d'une somme infinie de termes; la "plus simple" mais très longue à calculer pour avoir beaucoup de décimales justes(4*développement de Arctg1) Pi=4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11.....)
Une autre formule classique commence par le carré de Pi: Pi^2=6*(1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+....) et il reste à extraire la racine carrée!
Finalement 22/7 n'est pas si mauvais, car il vaut 3,14286...alors que Pi=3,1415926....avec 3 chiffres 3,14 c'est déjà bien assez dans la vie courante!

Answer 4

Plusieurs manières pour la calculer.

La plus marrante : imagine un carré dans lequel est inscrit un cercle. La probabilité qu'un point tiré au hasard dans le carré soit à l'intérieur du cercle vaut PI/4. Donc, si tu prends un grand nombre de point, tu auras PI avec une bonne approximation.

Sinon : cf lien

Answer 5

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi

tu as tout plein de formules sur ce lien.


bonne journée!

Answer 6

Bonjour!

Il faut que tu saches déjà au moins la longueur de la circonférence et le rayon ou la diamètre. (voir mon explication d'hier sur un sujet similaire)
La formule c'est:
C=pi X D avec D: 2 X R
C: Circonférence, D: la diamètre et R: Rayon.

Bon calcul et bon courage!

Emma R.

Answer 7

Le nombre 

Qu'est-ce que le nombre pi ?
Le nombre pi et son histoire
Des décimales de pi
Fraction continue
Valeurs approchées de pi
Quelques belles formules
Des poèmes pour retenir Pi
Des programmes de calcul de pi en javascript
D'autres petites choses marrantes ...
Calculer p avec des élèves
Quelques liens



Qu'est-ce que le nombre pi ?

"pi = 3,14" comme on dit ... Mais qu'est-ce que ce nombre pi ( pi ) au juste ?

Pour le commun des mortels ...
Tout le monde (enfin, ... en principe !) connaît la formule qui donne le périmètre d'un cercle à partir de son diamètre ou de son rayon et du nombre pi qui vaut quelque chose comme 3,1415926535... :
soit
et
soit que l'on écrit

D'où la définition classique de pi qui est :
 ( pi ) est le rapport constant entre la longueur d'un cercle (le périmètre du cercle) et son diamètre (le double de son rayon).
ou encore


Ou bien encore, à partir de la formule permettant de calculer l'aire (la "surface") d'un disque (le disque est la surface comprise à l'intérieur du cercle) à partir de son rayon :
soit

on obtient la définition suivante de pi (qui est équivalente à la précédente) :
 ( pi ) est le rapport constant entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon.



Pour le mathématicien ...
La définition n'est pas la même.
La définition donnée précédemment à l'aide du périmètre du cercle ou de l'aire du disque est ennuyeuse pour le mathématicien car elle suppose que l'espace dans lequel on se place soit euclidien pour que le rapport "périmètre du cercle / diamètre" soit constant et indépendant du cercle choisi (ce qui n'est pas vrai lorsqu'on trace des cercles sur une sphère, par exemple) et également qu'une théorie de l'intégration soit développée sur cet espace pour pouvoir calculer le périmètre du cercle ou l'aire du disque.

Aussi les mathématiciens préfèrent-ils une définition basée sur l'analyse.
Evidemment, elle est équivalente à la définition précédente. On obtient toujours le même nombre pi !

Voici la définition que l'on peut trouver dans un livre d'analyse (Analyse, J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Editions Dunod, 1988, page 217)
On appelle pi et on note  le double de l'unique racine de l'équation cos(x) = 0, comprise entre 0 et 2.
( La fonction cos ayant été définie à la page 210 par )


Ce qui est équivalent à :
 ( pi ) est le plus petit nombre réel  > 0 tel que cos() = -1

Ou bien encore,
 ( pi ) est la moitié de la période fondamentale de la fonction cosinus, c'est-à-dire :
 est le plus petit nombre réel  > 0 tel que


cos étant la fonction cosinus définie à partir de la fonction exponentielle, elle-même définie comme la somme d'une série entière sur l'ensemble des nombres complexes...
Pour tout nombre complexe z, et soit

Démonstration
Pour de plus amples détails et des démonstrations sur cette définition (définition par série entière, convergence, dérivabilité, périodicité, ...etc des fonctions réelles et complexes exponentielles, cosinus et sinus, équivalence avec la définition classique de pi), télécharger le document suivant :
Définition par série entière des fonctions réelles et complexes exponentielles, cosinus et sinus :
Pour Bourbaki ...
Nicolas Bourbaki est le nom d'un collectif de mathématiciens qui ont entrepris depuis 1935 de réécrire l'ensemble des mathématiques de la manière la plus rigoureuse possible, dans un ensemble d'ouvrages nommé Eléments de mathématiques.
Dans le volume Fonctions de variable réelle ( FVR), Bourbaki défini le nombre pi.
Pour cela, il a été défini dans le volume de Topologie générale (TG, VII, p.8) l'homomorphisme continu x |--> e(x) du groupe additif (R, +) sur le groupe multiplicatif (U, .) des nombres complexes de module 1, fonction périodique de période 1 et telle que e(1/4) = i.
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
En réalité, nous connaissons tous cette fonction sous le nom de x |--> exp(2ix) ...

Ensuite, en FVR II.4, arrive la proposition 3 :
La fonction e(x) admet en tout point de R, une dérivée égale à 2i e(x), où  est une constante >0.
Dans la démonstration de cette proposition, il est démontré que la dérivée de le fonction e(x) est égale à  e(x) où  est une constante et  >0.
Ensuite, il est dit : "il est d'usage de désigner le nombre  ainsi défini par la notation 2."

Et voila comment Bourbaki nous montre que le voyage en haute altitude que nous croyions effectuer n'était en fait qu'une promenade au milieu d'un paysage qui nous est très familier mais qui était juste un peu ... embrumé !
"Il est d'usage" ...

Pour la Bible ...
Dans le passage de la Bible 1. Rois 7.23 :
"Il fit la Mer en métal fondu, de dix coudées de bord à bord, à pourtour circulaire de 5 coudées de hauteur ; un fil de 30 coudées en mesurait le tour"

Ceci donne la valeur 3 pour .
Dieu n'aurait-il pas arrêté son calcul un peu trop vite ?
Ou bien l'univers que Dieu a créé n'est pas euclidien et a une courbure telle qu'un cercle a pour circonférence le triple de son diamètre ? ...



Le nombre  et son histoire


L'historique de p
Les premiers calculs de décimales du nombre p
La notation " p "
Nature algébrique de p
La quadrature du cercle
Nombres constructibles à la règle et au compas


L'historique de 

Le nombre pi est connu depuis l'antiquité, évidemment, pas au sens où nous l'entendons maintenant (notion abstraite de constante mathématique) mais en tant que rapport entre la longueur du cercle et son diamètre et d'ailleurs surtout en tant que méthode de calcul du périmètre du cercle (ou de l'aire du disque).
Les notations utilisées sont les notations actuelles (signes + et = , trait de fraction , notation décimale), qui sont utilisées depuis le XVIème siècle.
•En 2000 av.JC, les Babyloniens connaissaient Pi (comme le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, mais pas comme objet mathématique).
Ils avaient comme valeur 3 + 7/60 + 30/3600 (ils comptaient en base 60) soit 3 + 1/8 = 3,125.
•Vers 1650 av.JC, les Egyptiens avaient comme valeur (16/9)2 qui vaut environ 3,16. Cette valeur a été retrouvée sur le fameux papyrus de Rhind, écrit par le scribe Ahmès, acheté par un Ecossais qui s'appelle ... Henry Rhind. Il est conservé au British museum.

Le Papyrus de Rhind provient du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes, en Egypte (la ville où est érigé le temple de Karnak) et fut acheté par Alexander Rhind.
Il a été écrit vers -1650 par le scribe Ahmès. Constitué de 14 feuilles de papyrus, il mesurait à l'origine plus de 5 m de longueur sur 32 cm de large. Il est le plus vieux traité de mathématiques du monde et contient 87 problèmes dont, par exemple, la décomposition des fractions en fractions unitaires (dont le numérateur est 1), de l'arithmétique ( multiplications et divisions ), résolution d'équations, l'arpentage (mesures des distances) et à la géométrie : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides .
Cliquez sur l'image
pour la voir en plus grand
•
Ensuite, pi apparaît :
•En Chine vers 1200 av.JC, avec pour valeur 3.
•Dans la Bible vers 550 av.JC, avec pour valeur 3.
•En Grèce , avec en particulier Archimède en 250 av.JC qui donne l'encadrement 223/71 < pi < 22/7 et Ptolémée en 150 qui utilise 3 +8/60 + 30/3600 = 3,1416666.
•En Chine au Vème siècle , avec pour valeur 355/113.
•En Inde : 3 + 177/1250 = 3,1416 en 380 puis 3,16227 (racine carrée de 10) avec Brahmagupta en 640
•Au Moyen-Orient avec Al Khwarizmi en 800 (Ouzbekistan) et Al Kashi en 1429 (Turkestan) qui calcule 14 décimales de pi.
•En Europe : l'Italien Fibonacci, en 1220, trouve la valeur 3,141818, au Pays-Bas avec Van Ceulen (20 décimales en 1596 puis 34 décimales en 1609 !), en France avec Viète (9 décimales en 1593).
Ensuite vint le développement des techniques de calculs avec l'analyse (dérivée, intégrales, sommes de séries, produits infinis ...), Wallis en 1655, Newton (16 décimales en 1665), Gregory, Leibniz, Machin (100 décimales en 1706), puis Euler (20 décimales calculées en une heure ! )vers 1760 et beaucoup d'autres.

Les champions contemporains sont les frères Chudnovsky avec 4 milliards de décimales en 1994 et Kanada et Tamura dont le dernier record datait de 1999 avec 206 milliards de décimales (en environ 33 heures de calculs).
Kanada a battu son propre record le 6 décembre 2002 avec une équipe de neuf autres chercheurs japonais du Information Technology Centre de l'Université de Tokyo : 1 241 100 000 000 décimales ont été calculées à l'aide d'un super calculateur Hitachi (400 heures de calculs !) en utilisant un algorithme que l'équipe a mis cinq ans à mettre au point.
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Les premiers calculs de décimales du nombre pi

C'est Archimède (né en 287 av. JC à Syracuse et mort en 212 av. JC) , en 250 av.JC qui a réellement commencé à calculer des décimales du nombre pi. Il est surtout le premier à avoir utilisé un algorithme pour le calcul.
La méthode, qu'on appelle naturellement aujourd'hui la méthode d'Archimède, consiste à calculer le périmètre de polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle pour encadrer le périmètre du cercle et donc en déduire un encadrement de pi. Il obtint ainsi
3+10/71 <  < 3+1/7


Quelques détails sur l'algorithme d'Archimède
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La notation 
 est la première lettre du mot grec , périmètre ou , circonférence, périphérie.

Il y a plusieurs versions sur l'apparition du symbole, mais l'époque est toujours la même : vers 1600.
William Oughtred (1574-1660) en 1647 et Isaac Barrow (1630-1677) utilisent le symbole  pour représenter le périmètre d'un cercle de diamètre 1.
Un Allemand, Ludolph von Ceulen (1539-1610) utilisait déjà cette notation.
Qui fut le premier ? Est-ce bien important ? Il serait néanmoins intéressant de savoir si ces personnes communiquaient et comment l'usage du symbole  s'est répandu.

En 1706 , Jones l’utilise pour désigner le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre (à cette époque , Bernoulli emploie la lettre c)

Euler , utilise la lettre  ,dans un ouvrage sur les séries, publié en latin en 1737 puis, en 1748, dans son ’’Introduction à l’analyse infinitésimale’’, ce qui imposa définitivement cette notation .
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Nature algébrique de 
 n'est pas un nombre décimal, c'est-à-dire que les chiffres après la virgule ne sont pas en nombre fini ( a une infinité de décimales).
La meilleure valeur décimale approchée de  connue actuellement comporte environ 1241 milliards de chiffres ... Autant dire presque rien !

 est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire comme une fraction de deux nombres entiers. Autrement dit, cela signifie aussi que les chiffres de  ne sont pas prévisibles. On ne peut pas deviner une décimale sans la calculer explicitement, comme qu'on peut le faire avec le nombre 1/7 = 0,14285714285714... par exemple.
L'irrationnalité de  fut démontré en 1761 par l'Allemand Lambert.

 est un nombre transcendant c'est-à-dire qu'il n'est solution d'aucune équation à coefficients rationnels. Cela fut démontré en 1881 par Lindemann.
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La quadrature du cercle
La quadrature du cercle est un des grands problèmes de géométrie de l'antiquité et l'est resté pendant longtemps.
Il consiste à construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un disque de rayon donné, ce qui revient à construire le nombre (plus exactement le rapport) égal à la racine carrée de . Il fallut attendre 1882 pour que Lindemann démontre que  est un nombre transcendant (i.e solution d'aucune équation à coefficients rationnels), ce qui prouve que  n'est pas constructible à la règle et au compas.
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Nombres constructibles à la règle et au compas (petit complément pour les curieux...)

Un nombre x est dit constructible à la règle et au compas si le point de coordonnées (x,0) peut être obtenu par une suite finie d'intersections de droites et de cercles construits à partir des deux points de coordonnées (0,0) et (1,0).

On a le théorème suivant (voir Cours d'algèbre, Daniel Perrin)
si un nombre réel x est constructible à la règle et au compas, alors le degré de l'extension de corps Q[x] sur Q est une puissance de 2.
Or  est transcendant donc le degré de Q[] sur Q est infini . Donc  n'est pas constructible.

Deux petites remarques , tant qu'on y est !
Ce même théorème balaie également les deux autres problèmes grecs : la duplication du cube et la trisection de l'angle.
•La duplication du cube revient à construire à la règle et au compas un nombre a tel que le cube d'arête a ait un volume double du cube unité. Autrement dit a3=2 c'est-à-dire que a est la racine cubique de 2.
Mais le polynôme X3-2 est irréductible sur Q et c'est donc le polynôme minimal de a. Donc le dégré de Q[a] sur Q est 3, qui n'est pas une puissance de 2.
•La trisection de l'angle est le problème qui consiste à partager un angle donné en trois angles égaux à la règle et au compas. Ce problème revient à construire le nombre cos(t) connaissant le nombre cos(3t) .
La formule cos(3t) = 4 cos3(t) - 3 cos(t) montre que x = cos(t) est racine du polynôme 8X3 -6X -1qui est irréductible sur Q. Donc le degré de Q[x] sur Q est 3, qui n'est toujours pas une puissance de 2.
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Des décimales du nombre 

Depuis le 6 décembre 2002, il est connu 1 241 100 000 000 (plus de 1200 milliards !) de décimales du nombre pi ...

Ä quoi cela sert-il de connaître tant de décimales de pi ?
•Le calcul de décimales de pi est un très bon test pour vérifier la précision des calculs des ordinateurs (deux erreurs graves furent ainsi détectées sur les super-ordinateurs IBM 590 et R8000)
•La recherche de "motifs" de régularité et les calculs de statistiques sur les chiffres du nombre pi nécessitent de connaître de plus en plus de décimales.
•Mais la motivation la plus importante n'est pas de connaître de plus en plus de décimales de pi mais bel et bien de les calculer. En effet, le calcul d'un si grand nombre de chiffres demande des algorithmes de calculs très perfectionnés et a permis de très grand progrès dans ce domaine.
Les 100 premières décimales de pi :

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067

Les 627 premières décimales de pi
Elles sont affichées dans la salle (circulaire) de mathématiques
du Palais de la Découverte.



Les 2400 premières décimales de pi :
Le programme qui calcule les 2400 premières décimales de pi :
C'est un programme en QuickBasic (vous savez, le vieux langage Basic sous MS-Dos...). Si vous n'avez pas ou plus le programme QuickBasic.exe, je vous le redonne (Il suffit de cliquer sur le mot QuickBasic.exe).
Je prépare la conversion en Javascript... Patience.

Un million de décimales de pi :
Un programme de calcul de décimales de pi :
Ce programme est très efficace et vraiment très impressionnant : il calcule 10 000 décimales en 0,83s et 100 000 décimales en 3,85s sur un Pentium II 233Mhz !!
Une petite remarque : ce programme ne sait pas calculer moins de 10 000 décimales ...

Une frise pour afficher les décimales de pi :
1000 décimales de pi à afficher dans une classe sous forme d'une bande de 27 mètres de long ...

Fraction continue


On appelle fraction continue l'écriture d'un nombre réel sous la forme :

où les ai et bi sont des nombres entiers.
La suite des nombres ai et bi ne s'arrête pas nécessairement. ,

Si tous les nombres bi sont égaux à 1, la fraction continue est dite régulière :

On la note alors [a0 , a1 , a2 , ... , ai , ...]


La fraction continue régulière de  est :

Avec l'autre notation, en voici plus de "chiffres" :
 = [ 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 12, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, ...]

 n'est pas un nombre rationnel mais peut-etre approché de très près par des fractions de nombres entiers.
Par exemple : 314 / 100 est une fraction de deux entiers qui donne une valeur approchée de  avec deux chiffres exacts après la virgule.
En réalité, on peut approcher  par une fraction d'entiers donnant une valeur avec autant de chiffres que l'on veut après la virgule .
Les meilleures approximations rationnelles de  sont les fractions réduites de son développement en fraction continue.
En voici deux exemples :
=

=

Voici les premières réduites de  :
3 / 1 ; 22 / 7 ; 333 / 106 ; 355 / 113 ; 103993 / 33102 ; 104384 / 33215 ; 208341 / 66317 .

Valeurs approchées de 

Voici des éclaircissements sur quelques valeurs approchées célèbres de , qui circulent dans les repas de famille et qui génèrent immanquablement des questions aux profs de maths ...

Tout d'abord, AUCUNE des valeurs données ci-dessous n'est LA valeur du nombre .
 n'est pas un nombre décimal donc ces chiffres après la virgule ne s'arrêtent pas.
 n'est pas un nombre rationnel donc aucune fraction de nombres entiers n'est égale à .
•"Trois quatorze" (3,14) : la plus connue. Valeur approchée de  avec deux chiffres exacts après la virgule. C'est une très bonne valeur pour la plupart des calculs.
•"Trois quatorze cent seize" : celle-ci mérite une bonne explication.
Elle date de l'ancien temps où l'on disait "quatorze cent seize" pour lire le nombre 1416 comme on dit "quinze cent quinze" pour la bataille de Marignan.
"Trois quatorze cent seize" est donc la valeur 3,1416 qui est une valeur arrondie avec quatre chiffres après la virgule (le dernier chiffre, 6, n'est pas exact mais arrondi). Cette expression occasionne souvent la valeur fausse 3,14116 .
•"Vingt-deux septièmes" ( 22/7 ) : il y en a régulièrement qui soutiennent que c'est LE nombre  ...
En réalité, c'est la fraction la plus simple qui approche le mieux . C'est la première fraction réduite du développement de pi en fraction continue : 3 + 1/7 = 21/7 + 1/7 = 22/7. A noter que c'est une valeur qu'Archimède avait calculée aux environs de 250 avant JC pour encadrer . 22/7 vaut 3,142 857 142 857 142 ... et donne une valeur approchée de  avec deux chiffres exacts après la virgule.
•355/113 : moins connue mais c'est une très bonne approximation rationnelle de  ( valeur approchée qui est une fraction de nombre entiers).
C'est une réduite du développement de pi en fraction continue : 3 + 1 / (7 + 1 / (15 + 1/ 1 ).
355 / 113 vaut environ 3,141 592 92 qui est une valeur de  avec 6 chiffres exacts après la virgule (3,141592).
Lorsque l'on demande à un mathématicien combien vaut , il répond : " ! " ...

Quelques belles formules faisant intervenir 

La formule d'Euler
La plus belle à mon avis. Elle réunit les nombres les plus importants du monde mathématique avec une telle simplicité …

ou bien encore


Quelques formules liant les entiers et pi.

Viète (1540-1603)
Ce fut la premirère formule "infinie" donnant pi

Wallis (1616-1703 Anglais)
Ce fut la première formule "infinie" donnant pi sans racines carrées

Une autre manière de voir la formule de Wallis

Brounker (1620-1684, anglais, premier président de la Royal Society)

Grégory (1638-1675 Ecossais) donna le développement d'Arctan(x) en série entière et Leibniz (1646-1716 Allemand) donna cette formule en l'appliquant à x = 1

Leibniz (1646-1716)

Euler (1707-1783 Suisse)

Borwein et Plouffe
Formule utilisée pour calculer les chiffres de pi en base 2
(en base 10, on dit décimale, en base 2, on dit digit)


Cette dernière, dûe à Euler, est la formule qui est utilisée par le programme calculant les 2400 décimales de Pi.


Une formule qui relie pi et le nombre d'or
= étant le nombre d'or,



Une impressionnante formule dûe à Ramanujan...


... qu'il a découverte en 1910 et dont il n'a donné aucune démonstration. Cette formule est diablement efficace puisqu'elle fournit 8 décimales à chaque itération. Elle fut démontrée en 1985 par les frères Borwein (Jonathan et Peter).

Pi en probabilités et statistiques

Aire de la courbe de Gauss
(Espérance mathématique de la loi normale)
Démonstration : à télécharger au format Word


L'aiguille de Buffon :
probabilité pour qu'une aiguille de longueur 1 cm, lancée (au hasard) sur un parquet dont les lames sont larges de 2 cm coupe le bord d'une lame.

L'aiguille de Buffon (généralisée) :
probabilité pour qu'une aiguille de longueur 2a cm, lancée (au hasard) sur un parquet dont les lames sont larges de 2b cm coupe le bord d'une lame.

probabilité pour qu'une fléchette lancée (au hasard) sur une cible carré se plante à l'intérieur du cercle inscrit dans le carré
(méthode de Monte Carlo)

probabilité de tirer exactement n piles et n faces parmi 2n lancers de pièces


probabilité pour que deux nombres entiers pris au hasard soient premiers entre eux
Césaro (1859-1906),formule démontrée en 1881.
Rapport entre la longueur réelle d'un fleuve et la distance à vol d'oiseau entre la source et l'embouchure du fleuve...


Liens entre n ! et Pi : la fonction Gamma
Soit la fonction Gamma défine par
 coïncide avec n! pour x entier :
On a aussi : ; ;

Puisque la dérivée de Arctan x est 1/(1+x²) :

Et beaucoup d'autres :
•Formules et algorithmes pour évaluer pi
Beaucoup de formules, des notes historiques et des démonstrations. Un excellent travail !
Auteur : Gérard Sookahet
•Dans le merveilleux livre Le Fascinant nombre Pi de Jean-Paul Delahaye qui m'a donné envie de construire ce site.
Renseignement sur ce livre : http://www.pour-la-science.com
•Sur le site de Boris Gourevitch.

Un poème pour retenir 

Ces poèmes sont des moyens mnémotechniques pour retenir quelques décimales dans diverses langues en comptant le nombre de lettre de chaque mot.
La longueur de chaque mot donne une décimale (un mot de 10 lettres code zéro). La ponctuation ne code rien.

En français
Que j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages ! 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
Immortel Archimède, artiste ingénieur,8 9 7 9
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?3 2 3 8 4 6 2 6
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.4 3 3 8 3 2 7 9
Jadis, mystérieux, un problème bloquait5 0 2 8 8
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose4 1 9 7 1 6 9
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.3 9 9 3 7 5
0 quadrature ! Vieux tourment du philosophe1 0 5 8 2 9
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez9 7 4 9 4 4
Défié Pythagore et ses imitateurs.5 9 2 3 0
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?7 8 1 6 4 0
Former un triangle auquel il équivaudra ?6 2 8 6 2 0
Nouvelle invention : Archimède inscrira8 9 9 8
Dedans un hexagone ; appréciera son aire6 2 8 0 3 4
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :8 2 5 3 4 2 1 1 7
Dédoublera chaque élément antérieur ;0 6 7 9
Toujours de l'orbe calculée approchera ;8 2 1 4 8 0
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur8 6 5 1 3 2 8
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle2 3 0 6 6 4 7
Professeur, enseignez son problème avec zèle0 9 3 8 4 4

Une variante de ce poème (sur le début)
Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Glorieux Archimède, artiste, ingénieur,
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,
Soit ton nom conservé par de savants grimoires !
Le reste est identique au précédent

Un autre plus court
Car j'aime à faire apprécier ce nombre, objet des soins patients, longtemps répétés, engendrés par ce dur problème grec : "carrer" le cercle. Même son nom habituel est un symbole (périmètre) utile.

En anglais
•Yes, I have a great statement to relate.
•May I have a large container of coffee
•How I wish I could recollect of circle round
The exact relation Archimede unwound.
•How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
•How I wish I could enumerate Pi easily, since all these horrible mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply.
•See, I have a rhyme assisting my feeble brain,
its tasks sometimes resisting.
•But a time I spent wandering in bloomy night ;
Yon tower, tinkling chimewise, loftily opportune.
Out, up, and together came sudden to Sunday rite,
The one solemnly off to correct plenilune.

Un poème d'Edgar Poe
Near a Raven
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap - the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber's antedoor.
"This", I whispered quietly, "I ignore"…
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En allemand
•Dir, o Held, o Alter Philosoph, du Reisen-Genie !
Wie, viele Tausende bewundern Geister
Himmlisch wie du und Göttlich !
Noch reiner in Aeonen
Wird das uns strahlen ,
Wie im lichten Morgenrot !

•Wie ? O ! Dies 
Macht ernstlich so vielen viele Müh !
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein,
Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein !

En espagnol
•Con 1 palo y 5 ladrillos se pueden hacer mil cosas.
•Sol y Luna y cielo proclaman al divino autor del cosmo.
En portugais
•Sim, é'util e fácil memorizar um n'ugrato aos sábios.
•Sou o medo e temor constante do menino vadio.
En danois
•Eva, o lief, o zoete hartedief uw blauwe oogen zyn wreed bedrogen.
En albanais
•Kur e shoh e mesoj sigurisht.
En breton
•Piv a zebr a-walc'h dimerc'her ?
Ne lavaro netra, tud Breizh !


Des programmes de calcul de  en javascript


Calcul de p par l'algorithme compte-goutte
Calcul de p par une méthode statistique
Calcul de p par la formule d' arctan( 1 )
Calcul de p avec la formule de Machin
Calcul de p avec la méthode des polygones
Calcul de p par l'algorithme de Pif



Calcul de  par par l'algorithme compte-goutte

Cet algorithme est le plus efficace de tous les algorithmes proposés ici.
Le script est la retranscription en javascript du programme que je propose en quickbasic au paragraphe Des décimales du nombre p qui calcule 2400 décimales.

A noter : javascript n'est pas un très bon langage de calcul et rame un peu si vous lui en demandez trop avec cet algorithme...
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Calcul de  par une méthode statistique

Le rapport entre l'aire du quart de disque et l'aire du carré est de /4
On choisit au hasard des points dans le carré et on compte ceux qui sont dans le quart de disque.

On a alors :  = 4 x (nb de points dans le quart de disque) / (nb de points dans le carré)

(La fenêtre peut être longue à s'ouvrir. Pas de panique, c'est le processeur qui travaille dur !)

Remarque : Cette méthode de calcul peut-être appliquée à la maison avec un jeu de fléchette, par exemple, et beaucoup, beaucoup de patience...
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Calcul de  par la formule d' arctan( 1 )
On utilise la formule :
Cette formule vient de : pour |x| <=1

et en particulier de Arctan( 1 ) =



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Calcul de  avec la formule de Machin
On utilise la formule de Machin :
et le développement de Arctan x en série entière :


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Calcul de  par la méthode des polygones inscrits
La méthode consiste à calculer le périmètre du polygone régulier à 2n côtés inscrit dans le cercle de rayon 1.
Ce périmètre tend vers 2

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Un peu moins sérieux : calcul d'une décimale isolée de  par l'algorithme de Pif
Il est très rapide, très simple à programmer et très rapide. En voici une implémentation en javascript :

Entrez le rang de la décimale de pi cherchée et appuyez sur le bouton.
Remarque : dans "3,14" , 3 est la décimale de rang 0 , 1 est la décimale de rang 1, 4 est la décimale de rang 2, etc ...


Rang de la décimale cherchée :


Décimale cherchée :



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Des petites choses marrantes
Une charade...
Mon premier est un animal qui travaille avec sa queue et qui n'a rien pour s'asseoir...
Mon deuxième est un animal qui travaille avec sa queue et qui n'a rien pour s'asseoir...
Mon troisième est un animal qui travaille avec sa queue et qui n'a rien pour s'asseoir...
Mon tout est un nombre bien connu de tout le monde


Pour avoir la réponse, positionnez la souris sur l'image suivante et attendez


Une fraction surprenante...


Démonstration
Un oiseau est une bête à ailes, n'est-ce pas ? On a donc =

Nous pouvons donc simplifier par l : =

Puisque la multiplication est commutative, on a : =

Mais une vache n'est-elle pas une bête à pis ? ... On a donc : =

Et finalement, en simplifiant par beta, on obtient bien : = 


Et d'autres !
1) La hauteur d'un éléphant (des pieds aux épaules) est 2*Pi*D où D est le diamètre de ses pieds.
2) 3,14 est le rapport entre la longueur d'un fleuve et sa longueur à vol d'oiseau.
3) Prenez 1000 couples mariés, mesurez pour chacun la taille h de l'homme et f de la femme en mm, comptez le nombre N de fois que h et f sont premiers entre-eux, alors la racine carrée de 6000/N est une valeur approchée de Pi.



Calculer pi avec des élèves

Il est possible de faire calculer pi par des élèves de collège. Je vous propose trois activités destinées à différents niveaux (testées en classe)

Activité niveau 6ème : en mesurant des périmètres
Activité niveau 5ème : en mesurant une aire
Activité niveau 4ème / 3ème : par des calculs sur les fractions (sommes partielles d'une série ou fractions réduites du développement de pi en fraction continue)
Une autre activité possible consiste à démontrer le développement en série entière de arctan x et de calculer arctan (1).
(Euh ... Activité encore non-testée actuellement !)

Quelques liens vers des sites sur 

www.pi314.net (Le monde de pi ) : LE site français sur pi par Boris Gourevitch !
Un boulot impressionnant, un gars passionné et très sympa.

www.peripheria.net : le site "portail" sur pi, par Miha. Très belle présentation.

www.nombrepi.com : un très beau site sur pi.


Am I in Pi : trouver sa date de naissance dans les décimales de pi. INCONTOURNABLE !
http://www.pour-la-science.com : ce n'est pas un site sur pi mais vous pourrez y commander

2400 décimales de pi
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 674 818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 827 785 771 342 757 789 609 173 637 178 721 468 440 901 224 953 430 146 549 585 371 050 792 279 689 258 923 542 019 956 112 129 021 960 864 034 418 159 813 629 774 771 309 960 518 707 211 349 999 998 372 978 049 951 059 731 732 816 096 318 595 024 459 455 346 908 302 642 522 308 253 344 685 035 261 931 188 171 010 003 137 838 752 886 587 533 208 381 420 617 177 669 147 303 598 253 490 428 755 468 731 159 562 863 882 353 787 593 751 957 781 857 780 532 171 226 806 613 001 927 876 611 195 909 216 420 198 938 095 257 201 065 485 863 278 865 936 153 381 827 968 230 301 952 035 301 852 968 995 773 622 599 413 891 249 721 775 283 479 131 515 574 857 242 454 150 695 950 829 533 116 861 727 855 889 075 098 381 754 637 464 939 319 255 060 400 927 701 671 139 009 848 824 012 858 361 603 563 707 660 104 710 181 942 955 596 198 946 767 837 449 448 255 379 774 726 847 104 047 534 646 208 046 684 259 069 491 293 313 677 028 989 152 104 752 162 056 966 024 058 038 150 193 511 253 382 430 035 587 640 247 496 473 263 914 199 272 604 269 922 796 782 354 781 636 009 341 721 641 219 924 586 315 030 286 182 974 555 706 749 838 505 494 588 586 926 995 690 927 210 797 509 302 955 321 165 344 987 202 755 960 236 480 665 499 119 881 834 797 753 566 369 807 426 542 527 862 551 818 417 574 672 890 977 772 793 800 081 647 060 016 145 249 192 173 217 214 772 350 141 441 973 568 548 161 361 157 352 552 133 475 741 849 468 438 523 323 907 394 143 334 547 762 416 862 518 983 569 485 562 099 219 222 184 272 550 254 256 887 671 790 494 601 653 466 804 988 627 232 791 786 085 784 383 827 967 976 681 454 100 953 883 786 360 950 680 064 225 125 205 117 392 984 896 084 128 488 626 945 604 241 965 285 022 210 661 186 306 744 278 622 039 194 945 047 123 713 786 960 956 364 371 917 287 467 764 657 573 962 413 890 865 832 645 995 813 390 478 027 590 099 465 764 078 951 269 468 398 352 595 709 825 822 620 522 489 407 726 719 478 268 482 601 476 990 902 640 136 394 437 455 305 068 203 496 252 451 749 399 651 431 429 809 190 659 250 937 221 696 461 515 709 858 387 410 597 885 959 772 975 498 930 161 753 928 468 138 268 683 868 942 774 155 991 855 925 245 953 959 431 049 972 524 680 845 987 273 644 695 848 653 836 736 222 626 099 124 608 051 243 884 390 451 244 136 549 762 780 797 715 691 435 997 700 129 616 089 441 694 868 555 848 406 353 422 072 225 828 488 648 158 456 028 50

Answer 8

il te suffit de prendre une calculette graphique de faire shift EXP et voila le travail