la ecuacion de schrodinger sirve para el magnetismo??

Question

teniendo en cuenta que la ec. de schrodinger no sirve para efectos relativistas,, entonces como el magnetismo es un efecto relativista,,,la ec. de scho sirve o no sirve en este caso??

Answer 1

La ecuación de Shrödinger se aplica a cualquier sistema cuántico, incluso si existe un potencial magnético aplicado al sistema, en este caso sólo hay que introducirlo en el hamiltoniano y aplicar la fórmula.

El magnetismo no es un efecto relativista; de hecho el electromagnetismo fue desarrollado clásicamente por Maxwell, aunque para sistemas en los que las velocidades son comparables a la de la luz surgirán evidentemente fenómenos relativistas.

Para tener en cuenta los fenómenos relativistas en la ecuación de Schrödinger hay varias opciones: tomar aproximaciones con la teoría de perturbaciones o el método variacional o aplicar la fórmula de Dirac, que es la generalización de la de Shrödinger teniendo en cuenta la relatividad.

Answer 2

El de estas palabras escritas en este poema sí..! Porque tienen vida y tienen salud.. Tienen alma, cuerpo, sentido y calor.. Y como vienen de tu profunda alma son como vetas de aguas cristalinas.. Que corren a través del silencio de otras almas y de otros caminos.. Y tu poema como siempre exquisito.. Saludos pequeña flor amarilla del campo.. Rafael D

Answer 3

No estoy seguro si uno puede decir que el magnetismo es un efeccto relativista (probablemente no), sino mas bien que el cambio de sistema de referencia resulta en un cambio en el observable campo magnetico. Por ejemplo, el momento magnetico del electron no esta asociado a ningun movimiento (la imagen del electron girando es solo eso, una imagen), sino que es por el spin que resulta el campo magnetico.
Dicho esto, la ecuacion de Schroedinger es suficientemente buena aproximacion cuando no existe degeneracion en los niveles de energia (multiples estados con el mismo nivel de energia) y estamos hablando de energias no relativistas (que podrian permitir la creacion de pares de particula-antiparticula). Esto vale en particular para el magnetismo

La respuesat de Mario se sintetiza con http://ergodic.ugr.es/cphys/lecc/schrodinger.html

Answer 4

Resolución de la ecuación de Schrodinger en una dimensión.

Teoría: Física Cuántica
Técnica numérica: Esquemas implícitos en al resolución de ecuaciones en derivadas parciales parabólicas.
Programación: Fortran, C, Dynamiclattice.

Introducción teórica:
La ecuación de Schrodinger describe la evolución (determinista) de un campo F llamado función de ondas. Esta ecuación en una dimensión es de la forma:

i _
h

¶F(x,t)
--------------------------------------------------------------------------------
¶t
= é
ê
ê
ê
ë - _
h
2


--------------------------------------------------------------------------------
2m
¶2
--------------------------------------------------------------------------------
¶x2
+V(x) ù
ú
ú
ú
û F(x,t) = HF
(1)

donde `h es la constante de Planck, F(x,t) es el campo que representa a una partícula en el instante t, m es la masa de dicha partícula, V(x) es el potencial al que se ve sometida y H es el operador Hamiltoniano (que es Hermítico). La función de ondas es la magnitud que contiene toda la información accesible a un observador externo al sistema (notar que es una variable compleja). Para evitar el uso continuado de m y `h, reescalamos el tiempo t® t`h y el espacio x® x`h/Ö[2m] lo que nos da una ecuación de Schrodinger equivalente a (1) pero con `h = 1 y m = 1/2. Esta ecuación reescalada será la que utilicemos a partir de ahora.

El carácter físico de la función de ondas fue dado por Max Born al interpretar que

P(x,t) = |F(x,t)|2
(2)

es proporcional a la probabilidad de encontrar la partícula en el punto x en el instante t. Para que sea una probabilidad, debemos de garantizar que
ó
õ ¥

-¥
dx P(x,t) = 1
(3)

esto es, las funciones de onda han de ser de cuadrado integrable luego han de pertenecer a un espacio de Hilbert. Notar que la integral de probabilidad es una constante durante la evolución.
Finalmente decir que la solución formal de la ecuación de Schrodinger es

F(x,t) = e-itH F(x,0)
(4)

donde el operador eitH es unitario al ser H hermítico. Esta última propiedad nos será útil a la hora de hallar la discretización más adecuada.

Problemas:

Obligatorio: Resolver la ecuación de Schrodinger unimensional para un potencial cuadrado.

Voluntario: Estudiar el coeficiente de transmisión (la probabilidad de encontrar a la partícula al otro lado del obstáculo para tiempos largos pero antes de que se refleje en la pared derecha) en función del parámetro del potencial l, para valores positivos y negativos. Estudiar lo mismo para un potencial escalón y uno triangular. Comparar con la teoría.

Método numérico.
Discretizaremos el espacio y el tiempo de forma que la función de ondas es:

F(x,t)®F(jh,ns) = fj,n
(5)

donde n = 0,1,2,...¥, j = 0,1,...,N, h es el espaciado del retículo y s es el espaciado temporal (ambos supuestamente pequeños. Supondremos que las condiciones de contorno para la función de ondas en j = 0 y j = N son las correspondientes a la existencia de un potencial infinito en esos puntos, esto es, la probabilidad de encontrar la partícula en dichos puntos es cero. Asi, F0,n = FN,n = 0, para todo tiempo. En este contexto, podemos definir de forma inmediata un primer algoritmo discreto a partir de la expresión (4). Según esa expresión, si t es muy pequeña, podemos aproximar el operador de evolución exp(-itH) por su desarrollo de Taylor quedándonos a primer orden en t. Si además observamos que el operador Hamiltoniano no es más que la aplicación de una derivada segunda, su discretización espacial es obvia y en total obtenemos el siguiente algoritmo
F(j,n+1) = (1-isHD+O((sHD)2)F(j,n)
(6)

donde
HD fj = (- 1
--------------------------------------------------------------------------------
h2
dj2+Vj)fj = - 1
--------------------------------------------------------------------------------
h2
(fj+1-2fj+fj-1)+Vj
(7)

y Vj = V(jh). Este algoritmo tan simple y natural tiene un problema grave: el operador (1-isH) no es unitario. Esto implica que durante la iteración del algoritmo para encontrar la evolución de la función de ondas, su normalización, åj h |Fj,n|2, irá variando con el tiempo lo que es incompatible con el carácter de probabilidad que se le tiene que dar. Asi pues, nuestro objetivo será encontrar un operador evolución similar al anterior pero que sea unitario. Esto lo conseguimos con el siguiente algoritmo:
Fj,n+1 = 1-isHD/2
--------------------------------------------------------------------------------
1+isHD/2
Fj,n
(8)

Notar que además de ser unitario, este operador es exácto hasta orden (sHD)3. El único problema que nos resta con este algoritmo es el de diseñar la estrategia utilizar eficazmente el operador 1/(1+isHD). Para ello reescribimos la anterior ecuación como:
Fj,n+1 = é
ê
ë 2
--------------------------------------------------------------------------------
1+isHD/2
-1 ù
ú
û Fj,n = cj,n-Fj,n
(9)

donde
2
--------------------------------------------------------------------------------
1+isHD/2
Fj,n = cj,n
(10)

o lo que es lo mismo, dada Fj,n, j = 0,..,N, cj,n es la solución de la ecuación
[ 1+isHD/2 ]cj,n = 2Fj,n
(11)

que en forma explícita puede escribirse como:
cj+1,n+ é
ê
ê
ê
ë -2+ 2i
--------------------------------------------------------------------------------
~
s

- ~
V


j
ù
ú
ú
ú
û cj,n+cj-1,n = 4i
--------------------------------------------------------------------------------
~
s

Fj,n
(12)

donde [s\tilde] = s/h2 y [V\tilde]j = h2Vj. De esta forma el algoritmo básico de evolución queda bastante claro: dada una función de ondas en el instante n para toda posición j se resuelve el conjunto de ecuaciones (12) y se obtiene cj,n j = 0,..,N. Con esta solución vamos a la ecuación (9) y obtenemos las nuevas Fj,n+1 j = 0,...,N, volviendo a iterar el proceso. Lo único que nos queda por conocer es como resolver ecuaciones del tipo (12), osea, como invertir matrices tridiagonales.
En nuestro caso hemos de resolver un conjunto de ecuaciones del tipo:

Aj-cj-1+Aj0cj+Aj+cj+1 = bj j = 1,¼,N-1
(13)

donde Aj- = 1, Aj0 = -2+2i/[s\tilde]-[V\tilde]j, Aj+ = 1 y bj = 4iFj,n/[s\tilde]. Las condiciones de contorno c0 = cN = 0 (notar que estas condiciones de contorno implican que en (9) F0 y FN son cero para todo tiempo.
Para resolver la recurrencia (13) suponemos que su solución es del tipo:

cj+1 = ajcj+bj j = 0,¼,N-1
(14)

donde para garantizar que se cumple cN = 0 tomaremos que aN-1 = bN-1 = 0. Sustituyendo esta expresión en (13) obtenemos:
cj = - Aj-
--------------------------------------------------------------------------------
Aj0+Aj+aj
cj-1+ bj-Aj+bj
--------------------------------------------------------------------------------
Aj0+Aj+aj

(15)

Si identificamos las ecuaciones (14) y (15) podemos definir las recurrencias para los coeficientes a y b, asi
aj-1 = -Aj -gj
(16)

bj-1 = gj(bj-Aj+bj )
(17)

donde gj-1 = Aj0+Aj+aj. Estas ecuaciones nos dan la forma de obtener todas las a y b partiendo de j = N-1 y obteniendo en orden decreciente aj y bj j = N-2, ...,1. Una vez que tenemos todas las a y b, utilizamos la recurrencia (14) para hallar las cj en orden creciente en j.
Una vez ya sabemos como obtener c y con ella Fn+1 nos queda discutir que función de onda inicial introducimos y que potencial usamos. La función de onda inicial que vamos a usar es una onda plana con una amplitud gausiana, esto es:

F(x,0) = eik0xe-(x-x0)2/2s2
(18)

notar que con esta elección, la probabilidad de encontrar inicialmente a la partícula en un punto x es una gausiana centrada en x0 y de anchura s. El número de oscilaciones completas que la función de ondas tiene sobre la red depende de k0 asi k0Nh = 2pnciclos. En lugar de dar como parámetro inicial k0, darémos nciclos. Obviamente nciclos = 0,1,....,N pero físicamente no tendría mucho sentido que una oscilación completa de la función de ondas se produjese entre dos puntos del retículo pues querría decir que no estamos haciendo lo suficientemente fina nuestra discretización. Asi pues el parámetro nciclos lo restringiremos a valores 1,...,N/4. De esta forma, un ciclo, como mínimo tendrá cuatro puntos. La posición media inicial y la anchura de la gausiana las tomamos: x0 = Nh/4 y s = Nh/8 respectivamente. Por útimo, el potencial que usaremos será de anchura N/5, centrado en N/2 y altura proporcional a la energía de la función de ondas incidente: lk02 donde l = 0.3 por ejemplo.
En resumen, utilizando las constantes reescaladas, la función de ondas en el retículo se tomará:

Fj,0 = ei[k]0 j e-2(4j-N)2/N2
(19)

donde [k]0 = k0 h = 2pnciclos/N donde nciclos = 1,...,N/4. El potencial
~
V


j
= Vj h2 = 0 si j not in [2N/5,3N/5]
(20)

= l
[k]

2
0
si j Î [2N/5,3N/5]
(21)

Lo único que nos queda por fijar es el parámetro [s] = s/h2. Puesto que la energía es proporcional a k02 y nuestro operador dinámico discreto tiende a ser exácto en potencias de H s, lo óptimo es elegir Hs < 1, esto es, k02 s < 1, asi deducimos que [s] < 1/[k\tilde]02. En particular tomaremos [s] = 1/4[k]02. Notar que los parámetro que hemos de dar al sistema inicialmente son N, nciclos y l pues todos los demás se fijan a partir de ellos.
En resumen, el algoritmo para resolver la ecuación de Schrodinger unidimensional es:


(0) Dar los parámetros iniciales: N, nciclos y l. Generar [s], [k]0, [V]j y Fj,0 (incluyendo las condiciones de contorno F0,0 = FN,0 = 0.
(1) Calcular a's y b's utilizando la recurrencias (16) y (17) respectivamente.
(2) Calcular c's de (14).
(3) Calcular Fj,n+1 de (9).
(4) n=n+1, Ir a (2).

Números complejos en Fortran.

Declaración: implicit double complex (h)
Asignación de valores constantes: h = (1.0d+0,0.3d+0) (=1+i0.3).
Asignación de variables: h = complex(a,b) (=a+ib).
De lo que se deduce que la respuesta es AFIRMATIVA.