Comment demontrer que racine de 5 est un nombre irrationnel par la methode de l'absurde?

Answer 1

omeg a juste démontré que racine de 5 n'est pas un entier.
c'est pas complet mais ça va nous servir...

obélix t'a mis sur la voie, mais il a été un peu vite.

le début est bon :

si sqrt(5) est rationel alors

sqrt(5)=n/d avec n et d entiers

=> n²/d² = 5
=> n² = 5d²
il faudrait donc trouver d entier tel que son carré fois 5 soit un carré parfait.
or, un carré parfait, est un nombre dont la décomposition en facteurs premiers donne uniquement des exposants pair.
(chaque composant premier a son jumeau)
or d² est déja un carré parfait, si tu le multiplie par 5, tu casse la symétrie et le résultat ne peut pas être un carré parfait car 5 n'en est pas un. cqft

Answer 2

On le démontre par l'absurde (il existe d'autres méthodes également) de la manière suivante (note : racine de n est irrationnel dès que n n'est pas un carré, n étant un entier positif) :

Si racine(5)=p/q (avec p et q premiers entre eux), on a:
5q²=p², donc 5 divise p, disons p=5r, ce qui entraîne:
5q²=25r², donc:q²=5r²; ceci montre que 5 divise q.
Conclusion: 5 divise p et q qui étaient supposés premiers entre eux.

Answer 3

Suppose que c'est un nombre rationnel.........

Answer 4

Suppose que c'est un nombre rationnel. Exprime le fait que racine de 5 est un rationnel, il en découlera rapidement une absurdité.

Answer 5

5 est un nombre irrationel?Ben oui c'est absurde.

Bonsoir

Answer 6

même si la logique dit que la racine de cinq est 2.2360679....
l'absurde ne tue pas!

Answer 7

Pfff.

"Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme quotient de deux nombres entiers. Autrement dit, c'est un réel qui n'est pas rationnel.

Il existe deux types d'irrationnels :

les nombres algébriques, qui sont racine d'un polynôme à coefficients rationnels non tous nuls, comme la racine carrée de 2 (voir la démonstration d'irrationnalité), et plus généralement tout nombre où x est un rationnel positif qui n'est pas un carré parfait (notamment, lorsque x est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait).
les nombres transcendants comme π (pi) et e (nombre exponentiel). " (Wikipedia)

J'applique:

Suppose que la racine de 5 est un nombre rationnel.

On prend les premiers nombres rationnels multiplié par eux-mêmes en donnent un nombre allant de 0 à un nombre supérieur à 5.

1x1=0 Ah, c'est pas 5 !
2x2=4 Ah, c'est pas 5 !
3x3=9 Ah, c'est plus que 5 !

Bon, on a essayé tout ce qui était possible.

Donc
y'a pas
y'a pas
y'a pas

Faut vous le dire en polonais ou quoi ?