Problème de variation de x(t) dans un arc paramétré?

Question

J'ai un arc paramétré par les deux fonctions suivantes : x(t) = t*(ln t)^3 et y(t) = t*(ln t)². Dans un premier temps, on me dit que x(0) = y(0) = lambda. Je dois trouver la valeur de lambda pour que x et y soient continues en 0, je cherche donc la limite en 0 de x et y. Cette limite est donnée par les croissances comparées : 0.
Ensuite, pour étudier l'arc, je dérive ces deux fonctions, ce qui donne x'(t) = (ln t)^3 + 3 (ln t)² et y'(t) = (ln t)² + 2 ln (t). Je dois ensuite construire le tableau de signe de ces deux fonctions et en déduire les variations de x(t) et y(t)... No problem, x'(t) s'annule pour t = exp (-3) et 1, et y'(t) s'annule pour t = exp (-2) et 1.
On a donc ce tableau : y croît sur t € ]0, exp(-2)], décroît jusqu'à t=1, puis croit jusqu'à l'infini. x croît sur t € ]0, exp (-3)], décroit jusqu'à t=1, puis croît jusqu'à l'infini.
Sauf que...on se retrouve donc avec x(t) qui croît de x(0)= 0 jusqu'à x(exp (-3) = -27 exp(-3), qui est négatif :/ Vous pouvez m'aider svp?

Je précise que les valeurs de t pour lesquelles x' et y' s'annulent sont indirectement confirmées par l'énoncé, qui me demande d'exprimer les valeurs de y et de x pour ces valeurs de t sous la forme "n / exp(3)" ou " n / exp (2)", soit "n*exp(-3)" et "n*exp(-2)".
Pour ces valeurs je trouve y (t = exp (-2)) = 4 / exp (2) et x(t = exp(-3)) = -27 exp (-3), valeur qui pose problème.
La disparition du signe - pour y vient du fait que ln est au carré dans son expression (t*(ln t)²)... Alors que ln est au cube dans son expression (t*(ln t)^3), donc le signe moins reste :/

Answer 1

Très simple! Regardez bien le signe de x'(t) qui est celui de 3+ln(t) en factorisant le carré du ln; il est NEGATIF pour t0 !!
Donc x décroit de 0 à exp(-3) et tout rentre dans l'ordre; c'est bien d'avoir détecté l'erreur en calculant les valeurs intermédiaires de x!

Il y avait une autre façon de repérer l'erreur en cherchant la limite de x'(t) en t=0 qui est bien sûr -infini, ça ne peut donc pas être >0 pour tout t Bonne chance!

Answer 2

reprend ton tableau de signes et réflechi sur tes limites