URGENT !!!!! F est définie dans R par f(x)=(x-1)² - 4. Démontrer que f admet un extremum dans R.?

Question

C'ets pour le mercredi 4 octobre et je n'y comprends rien ! Pouvez vous m'aider ? je vous en remeric d'avance ! ;)

Answer 1

Réponse simple sans calcul:
(x-1)² est une quantité positive (c'est un carré) et elle ne peut être nulle que si x=1. Par conséquent, x=1 est une valeur minimale pour (x-1)². Ajouter la constante ne change rien au problème. Donc f admet un minimum pour x=1 et la valeur correspondante est -4.

Autre méthode bonus assez marrante mais je ne suis pas sûr que tu aies vu le théorème à appliquer.
Tu utilises l'identité remarquable:a²-b²=(a+b).(a-b) et tu obtiens:
(x-1)²-4=(x+1).(x-3)
La fonction est négative sur [-1;3], elle est continue et s'annule en -1 et 3.
Maintenant regarde si dans ton cours un théorème inspiré du théorème des valeurs intermédiaires te permet de conclure. Sinon, garde la première méthode.

Mais pourquoi tout le monde perd son temps à dériver, et en plus n'importe comment? A titre accessoire voilà la bonne et la mauvaise méthode pour calculer la dérivée de f.
La mauvaise méthode: développer le carré comme un bourrin:
(x-1)²-4=x²-2x-3, puis ensuite dériver pour obtenir 2x-2
La bonne méthode: faire un changement de variable en posant g(x)=f(x-1) et remarquer que l'application x->x-1 est affine, donc de dérivée 1. D'où f'(x)=2.(x-1) et la dérivée est directement factorisée.

Answer 2

Ouvres ton cours aux bonnes pages et mets en application !
- Définition d'un extremum
- Règles de calculs d'une dérivée
- ...

Pour les examens, on est seul face à une page blanche. Mieux vaut essayer de comprendre que demander à d'autres la solution toute faite...

Answer 3

il faut dériver f(x) puis annuler cette dérivée notée f(x)' ...

Answer 4

Tu dérive la fonction et tu trouves un zéro en x=1.
La fonction admet un extremum en x=1.

Answer 5

x=1 extremum
pour tout x <> 1 : f(x)>f(1) = - 4 parce que (x-1)² > 0 si x <> 1

la dérivée est vraiment un luxe dans ce cas
amis bon si tu es sur ce chapitre tu devrais l'utiliser...

Answer 6

Il suffit de dériver ta fonction : En effet, la dérivée d'une fonction permet de trouver l'extremum (ou le maximum ou le minimum).
En dérivant notre foncton, on obtient 2(x-1) = 2x - 2. Maintenant pour trouver l'abscisse de ton extremum, il faut annuler la dérivée de ta fonction. Dès lors, on doit résoudre 2x - 2 = 0, càd on a x = 1. Pour trouver l'ordonnée de ton extremum, il suffit de calculer f(1) = -4.

Answer 7

Il faut calculer la dérivé et voir pour quelle valeur elle sannule en changeant de signe , C'est cette valeur là si elle existe , l'extrémum dans R .
pour ton cas :
f(x) = (x-1)² - 4 ; f(x) = x²-2x +1-4 = x²-2x -3 ;
f'(x) = 2x - 2 = 2(x-1) ;
f'(x) = 0 equivalent à x=1 ;
f'(x) s'annule pour x=1 en changeant de signe d'où x = 1 est un extrémum pour la fonction f(x) = (x-1)² - 4 .
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Hé ! mes 10 pts , sinon tu n'auras pas de réponse la prochaine fois , et tâche de faire toi même tes devoirs .
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Answer 8

- Si tu es en premiére, c'est une application de ton cours sur le 2nd degrés et les dérivées. Pour determiner un extremum on peut dériver ta fonction f, qu'on note f'. Ensuite on regarde ou f' s'annule cad on résout l'équation f'(x)=0 pour tout x dans R. Ainsi la ou les solutions obtenues donne les abscisses des extremum de f.
Voila la comment procéder pour determiner ET calculer un extremum.

Pour plus de subtilité, quand il s'agit comme ici d'une fonction polynomiale du 2nd degres (ou "trinome du 2nd deges") et SEULEMENT dans ce cas, il faut savoir que la courbe est une parabole et admet un et un seul extremum. Pour savoir si c'est un maximum ou un minimum voila la propriété a retenir:

Soit f(x)=ax^2+bx+c (ta fonction peut s'ecrire sous cette forme en developpant l'identité remarquable).
Si a<0 la courbe admet un maximum
Si a>0 la courbe admet un minimum

Answer 9

J'ai deux réponses, sans et avec dérivées car je ne sais pas à quel niveau vous êtes:
D'abord, un extrêmum, c'est une valeur de la variable x pour laquelle la fonction est plus petite -pour un maximum -(ou plus grande:minimum) juste de part et d'autre de cette valeur, donc quand son sens de variation change d'un côté à l'autre du point; il faut donc étudier les variations de la fonction sur R, en essayant de se ramener à des exemples déjà connus du cours (comme toujours en maths).

1)-sans dérivée: pour simplifier, on peut répondre pour la fonction
x---->(x-1)^2 d'abord, car en ajoutant la constante -4, le sens de variation ne change pas; et c'est comme pour X^2 en prenant X=x-1, car X et x varient dans le même sens.
Le carré d'un nombre positif augmente si le nombre augmente, et c'est le contraire pour un nombre négatif (vérifiez-le sur des exemples au hasard, vous verrez)
Une fonction croit si sa valeur augmente quand la variable augmente, n'est-ce pas? Donc, la fonction X---->X^2 décroît pour X<0 (par exemple, en faisant augmenter X de -100 à -10 ou de -5 à 0) et croît pour X>0, elle passe donc par son minimum égal à 0 pour X=0.
Donc aussi pour la fonction étudiée, elle a un minimum pour x-1=0 donc x=1, qui est égal à -4.

Pour bien présenter ça, je vous suggère de faire un tableau de variation selon les valeurs de x en 3 lignes:pour x-1, (x-1)^2, et F(x)

On pourrait dire plus vite, mais de façon moins intéressante pour bien comprendre le sujet, qu'un carré est toujours positif et donc que F(x) est toujours plus grande que 0-4=-4 qui est un minimum.
On n'aurait quand même pas prouvé que c'est le seul extrêmum et la réponse ne serait pas complète de cette façon!

2) avec la dérivée de la fonction, on va étudier son signe et en déduire le sens de variation:
(x-1)^2 est une fonction composée:
x----->X=x-1 puis X---->X^2, la dérivée est le produit des dérivées en X et de X par rapport à x: celle de X---->X^2 est 2X, celle de x---->x-1 est la constante +1 donc le produit est 2X=2(x-1) et la dérivée de la constante -4 étant nulle, F'(x)=2(x-1)
F'(x) est <0 pour x<1 et >0 pour x>1, et s'annule pour x=1, on retrouve bien le résultat des variations de le première méthode, et le résultat pour le minimum en x=1.

Si vous trouvez que les explications sont évidentes, c'est très bien, je ne sais pas ce que vous connaissez alors j'ai essayé d'expliquer à peu près tout; j'espère que vous aurez bien compris.
Je vous donne un conseil, si les leçons des profs ne vous ont pas suffi à comprendre:n'attendez jamais que vos difficultés s'accumulent, vous ne pourriez plus ratrapper; posez des questions (c'est plutôt bien vu, surtout quand on apprend de nouvelles choses) et cherchez de l'aide autour de vous; je suis persuadé que tout le monde peut être fort en maths (et même y prendre goût comme moi!) car il suffit de comprendre à fond les bases, les définitions, de ne pas se laisser distancer.
Pour rire un peu: il y a un proverbe chinois qui dit: "Celui qui ne comprend pas et pose une question semblera peut-être bête un jour, celui qui se tait le restera toujours!"
Bonne chance!

Answer 10

f'(x)=2x-2
f'(x)=0 ssi 2x-2=0 ssi x=1
f'(x) est négative avant 1 et positive après donc f(x) est décroissante sur (-infini; 1) et croissante sur (1; +infini)

1 est par conséquent 1 extremum ou "point de rupture de f(x)