¿Cómo saco la integral de cos^3 de 2x?

Question

el resultado es: (9sen2x + sen6x)/ 24, solo necesito que me digan los primeros pasos, pienso que separan el cos^3 2x como cos^2 2x por cos 2x, pero despues el cos^2 2x a que lo convierten???

Gracias

Answer 1

Puedes probar con las identidades

cos^2 (z) = (1/2) + (1/2) cos(2z)

cos^2(z) = 1 - sen^2 (z)

Answer 2

El resultado esta mal, y lo que haces despues de lo que planteas es decir que cos´2(2x) es u, y cos(2x) es dv, tenes que resolver por partes, y por sustitucion, es decir: 2x = t, y creo que el resultado final es: 1/2 sen(2x) - 1/6 sen´3(2x).
En definitiva tenes que hacerlo por partes.

Answer 3

La integral la vamos a resolver aplicando "sustitución", y vamos a demostrar que el resultado es: 1/6 * sen2x (cos²2x + 2). Este resultado -y luego de trabajarlo un rato- se convierte en el que te han indicado (el símbolo de la integral, lo voy a representar con la "I").
Recuerdo que el método de sustitucuón es aquel que aplica el siguiente concepto:

I (uv') = uv - I (vu')

Así tomaremos de la siguiente forma:

u = cos²2x
dv = cos2x dx
v = ½ sen2x
du = -4 sen2x cos2x dx. Entonces:

I (cos³2x) = ½ sen2x cos²2x + 2 * I (sen²2x cos2x dx) = (aquí viene el truco) =
= ½ sen2x cos²2x + 2 * I ((1 - cos²2x) cos2x dx) =
= ½ sen2x cos²2x + 2 * I (cos2x dx) - 2 * I (cos³2x dx) =
= ½ sen2x cos²2x + sen2x - 2 * I (cos³2x dx). Entonces:

I (cos³2x) = ½ sen2x cos²2x + sen2x - 2 * I (cos³2x dx) (aquí viene el 2do. truco):
Sumamos a ambos miembros de la igualdad, el valor: 2 * I (cos³2x dx)

I (cos³2x) + 2 * I (cos³2x dx) = ½ sen2x cos²2x + sen2x, o sea:
3 * I (cos³2x) = ½ sen2x cos²2x + sen2x, Y finalmente, pasamos el "3" dividiendo:

I (cos³2x) = 1/6 * sen2x cos²2x + 1/3 * sen2x = 1/6 * sen2x (cos²2x + 2), como habíamos dicho.

Para llegar al resultado que te han indicado, te sugiero trabajar un rato con "sen6x" [sen6x = sen(2x+4x)] etc. Verás que "milagrosamente" el resultado termina siendo el mismo.
....

Answer 4

Buscá alguna relación trigonométrica para sacar el exponente del coseno y transformarlo en alguna función más fácil de integrar, digo.. qué se yo..