Wieso ist die Zahl Pi unendlich?

Question

Eine Frage, die mich seit meiner Schulzeit beschäftigt: Wenn ich einen Kuchen in 7 gleich große Teile zerschneide (gesetzt den Fall, dies wäre exakt bis auf den Krümel möglich), habe ich exakt 7 Teile. Wenn ich die Zahl 70 durch 7 teile, ergibt dies exakt 10. Warum endet die Zahl, wenn ich 22 durch 7 teile (Pi) nicht? Oder anders gefragt: Ist die Mathematik nicht genau? Und wenn sie nicht genau ist, warum benutzen wir sie dann in dieser Form und führen nicht etwas Anderes ein? Okay, bleiben wir bei der ursprünglichen Frage... Wieso ist Pi unendlich?

Answer 1

Also es wurde nun schon viel geschrieben, aber leider waren auch viele Falschinformationen dabei:

Pi ist nicht unendlich. Wie bereits von einem vorigen Antworter geschrieben hat, ist es eine Zahl zwischen 3 und 4 und somit endlich.

Tatsächlich hat Pi in der Dezimaldarstellung unendlich viele Ziffern hinter dem Komma. Solche Zahlen gibt es nunmal, sogar auch bei den rationalen Zahlen (man denke z.B. an 1/3= 1,33333333 und unendlich viele 3er mehr...).
Es wurde bewiesen, dass es keine endliche Dezimaldarstellung gibt. Es ist also falsch zu sagen, es wäre noch unklar, weil ja nur noch kein Ende gefunden wurde. ES GIBT KEIN ENDE.

Pi entwickelt aber keine Periode, es gibt kein Prinzip, nach dem sich eine gewisse Zahlenfolge immer wiederholt. Daher ist Pi irrational.
(Pi ist sogar transzendent, das heißt, man kann kein Polynom mit rationalen Koeffizienten finden, welches Pi als Nullstelle hat. e ist eine weitere transzendente Zahl, während Wurzeln von rationalen Zahl zwar irrational, aber nicht transzendent sein können.)

Ein voriger Antworter hat geschrieben, es gäbe genauso viele irrationale Zahlen, wie rationale. Das ist falsch. Es gibt erheblich mehr irrationale Zahlen! Nämlich überabzählbar viele. Der Mathematiker würd das so sagen: Die rationalen Zahlen sind "gleichmächtig" (also "im Grunde" genausoviele) wie die natürlichen Zahlen (1,2,3,4...), die irrationalen sind "gleichmächtig" wie die reellen Zahlen (alle Dezimalzahlen).

Answer 2

Pi ist eine reelle, aber keine rationale Zahl.
Pi kann nicht als Verhältnis zeier ganzer Zalen (als Bruch) geschrieben werden.
Deshalb sind die 22/7 auch nicht die Pi selber, sondern nur eine sehr genaue Näherung.

Der Beweis dazu wurde von Johann Heinrich Lambert erbracht.

Für die Anwendung ist das aber egal, weil es technisch unmöglich ist, errechnete Werte mit 100 und mehr Stellen hinter dem Komma, nachzumessen.

Answer 3

Gallia est omnis divisa in partes tres, quarum unam incolunt Belgae, alteram Aquitani, tertiam, qui ipsoram linguam Celtae, nostra Galli appelantur. His omnes... inter se differunt. Auch so ein Blödsinn, der einfach hängen geblieben ist. Manche Dinge lassen sich nicht erklären, und das ist auch intestine so.

Answer 4

Um ehrlich zu sein - die Frage ist etwas dämlich. Hat in etwa das gleiche Niveau wie "Warum ist Wasser normalerweise flüssig"?

1. Pi ist nicht unendlich, sondern eine Zahl zwischen 3 und 4.
2. Pi hat in der Dezimaldarstellung unendlich viele Ziffern. Das liegt daran, dass Pi eine irrationale Zahl ist. Und das ist auch bewiesen, trotz einer anderslautender Meinung hier. Den Beweis werde ich mir hier sparen, den verstehst du eh nicht.
3. Warum das so ist? Nun, es gibt nunmal jede Menge irrationale Zahlen - sogar ganz doll viel mehr als rationale Zahlen. Und alle irrationalen Zahlen haben nunmal unendlich viele Ziffern in ihrer Dezimaldarstellung. Hätten sie nur endlich viele Zahlen, wären es nämlich rationale Zahlen...

Answer 5

weil sie kein ende hat, sie wird wohl irgendwo eins haben das haben wir bloss noch nicht gefunden

Answer 6

Würde die Dezimaldarstellung der Zahl Pi irgendwo abbrechen, wäre sie rational, d.h. als Bruch darstellbar. Wäre Pi z.B. genau 3,1415 so wäre Pi=31415/10000.
Dein Misstrauen gegenüber der Tatsache, dass es Zahlen gibt, die nicht rational sind, ist nicht ungewöhnlich und im übrigen schon sehr alt. Es ist mehr als 2000 Jahre her, als ein griechischer Mathematiker zum ersten Mal zeigte, dass es nicht möglich ist die Quadratwurzel aus 2 als Bruch darzustellen. Angeblich hat man den armen Kerl deswegen sogar ins Meer geworfen. Heutzutage ist man etwas abgebrühter, und man hat sich damit abgefunden, dass es "genauso viele" irrationale wie rationale Zahlen gibt (nämlich abzählbar unendlich viele).

Den ersten Beweis, dass Pi nicht rational ist, lieferte Johann Heinrich Lambert im Jahr 1761. Zu diesem Zweck musste er natürlich nicht "alle" Stellen ausrechnen. Man weiß im übrigen noch mehr: Im Jahr 1882 zeigte v. Lindemann, dass Pi sogar transzendent ist. Das heißt, es gibt kein Polynom mit rationalen Koeffizienten, das Pi als Nullstelle hat. Diese Transzendenz von Pi ist übrigens auch der Grund, warum es nicht möglich ist, zu einem gegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal ("Quadratur des Kreises") zu konstruieren.

Answer 7

Die Zahl π geht zurück auf Archimedes und die Quadratur des Kreise. Wenn du in einen Kreis ein Quadrat einbeschreibst, hast du mit den 4 Seiten des Quadrates eine erste sehr grobe Näherung für den Umfang des Kreises. Die 4 Seiten des Quadrates sind jeweils für sich Sekanten im Kreis. Verbindest du die Scnittpunkte der gegenüberliegenden Sekanten miteinander, schneiden sich dies zwei Linien exakt im Kreismittelpunkt die sich daraus ergebenden Sekantendreiecke werden jeweils durch den Radius aufgespannt. somit ist die Länge einer Sekante bestimmt aus

s=√2r² oder U=4s = 4*√2r²

Dies ist eigentlich schon der ursächliche Zusammenhang und Grund dafür, dass π unendlich ist, denn √2 ist eine irrationale Zahl und unendlich und π ist ja nichts anderes als das Verhältnis von Umfang zu Radius. Wenn du die Qudratur des Kreises vorantreibst durch stetige Teilung deder Sekanten des einbeschriebenen Quadrates, kannst du die Teilung unendlich oft wiederholen, damit wäre der zweite irrationale Faktor im Spiel.

Ich habe mal eine kleines Programm geschrieben und diese Teilung und Berechnung der Zahl π iteriert im Rahmen der Rechnergenauigkeit. Und beide irrationalen Anteile belegen, dass π ebenfalls irrational ist.

Answer 8

Also ich weiß nicht ob es wirklich stimmt, aber ich habe mal gehört das der Turnvater Jahn zwei Söhne hatte.Eines Tages wollten die drei einen Kuchen essen. Nun wunderten sich die Söhne das sie nur drei Stücke erhielten während ihr Vater vier bekam. Turnvater Jan aber erklärte:" in Wahrheit haben wir alle gleich viel und zwar Pi Stücke Kuchen".Da die Kinder sich aber betrogen fühlten regten sie sich (zu Recht) auf. Und zwar ziemlich lange und da sich auch heute noch viele Kinder darüber aufregen und auch in Zukunft aufregen werden ist die Zahl Pi unendlich. Turnvater Jahn schämte sich nach dieser Affäre so sehr dass er sogar seinen Namen änderte in Adam Riese. Und auch heute ist es noch so das die Erwachsenen die kompliziertesten Rechnungen erfinden um an das größte Stück Kuchen zukommen. Ich hoffe das hatt dir geholfen. Gruß R.

Answer 9

Kurz und bündig: weil es eine irrationale Zahl ist.

Jetzt ein bisschen länger, aber einfacher erklärt. Stell dir das mal so vor: eine Ziffer (0 bis 9) gibt immer nur eine Einteilung in zehn Schritte.
10 wird von 0, 1, 2, 3, ... in 10 Teile geteilt.
1 wird von 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, usw. auch in 10 Schritte geteilt.
0.1 wird von 0.01, 0.02, 0.03, ... in 10 Schritte geteilt.
Elektronisch gesprochen würde das "digital" heißen.

Jetzt suchst du aber eine Zahl die irgendwo dazwischen liegt. Bildlich gesprochen kann man sich das so vorstellen, dass es analog ist: ein Zeiger zeigt auf einem Ziffernblatt auf eine Zahl und du willst sie ablesen.

Eine Zahl zwischen, ich sage jetzt ein Beispiel, 3 und 4.
Also etwa 3.1.
Aber 3.1 stimmt nicht ganz, wenn du genauer hinsiehst, dann liegt die Zahl zwischen 3.1 und 3.2. Ungefähr bei 3.14.
Aber die Zahl ist bei näherem Hinsehen auch nicht genau 3.14, sie ist zwischen 3.14 und 3.15. Sagen wir bei bei 3.141.
Noch genauer hingesehen ist sie aber zwischen 3.141 und 3.142. Also bei 3.1415 (ist übrigens gleich Pi).
usw.

Also aufgrund des "Mankos", dass du eine gewissen Bereich auf der Zahlengeraden nur in eine endliche Anzahl von Schritten (Ziffern) unterteilen kannst, wird es eben manchmal Zahlen geben, die zwischen diesen Unterteilungen liegen. Und zwar so weit dazwischen, dass wir nicht zählen können, wo sie "aufhört". Dann heißt eine Zahl unendlich.

Solange es Zahlen gibt, wird es immer Unterteilungen geben. Du löst das Problem auch nicht, indem du einen Abschnitt in 20 Teile unterteilst und die Werte a, b, c, ... nennst (statt 0, 0.5, 1, 1.5 oder 1, 2, 3, ...).
Um dieses Problem zu beseitigen müssten wir in einer Welt ohne Zahlen leben. Dann gibt es aber kein Geld, keine Computer, ...

Pi ist eben eine solche Zahl. Das Verhältnis eines jeden Kreisumfangs zu seinem Radius ist eine Zahl, die "irgendwo zwischen den Schritten" liegt. Diese Zahl hat aber zudem noch den Haken, dass man sie messen muss: Umfang dividiert durch Radius. Den Radius zu messen geht ja noch - beim Umfang wird es ein wenig komplizierter. Also ein "guter" Wert für Pi ist demnach davon abhängig, wie "gut" der Umfang eines Kreises gemessen werden kann.

(Michael K hat Recht: wir wissen nicht, ob sie unendlich ist - eben weil wir sie messen müssen. Das einzige, was wir sagen können: wir haben sie auf xxx stellen berechnet. Vielleicht hört sie ja bei der 1245. stelle auf?)

Answer 10

Wegen der Irrationalität von π lässt sich die mathematische Konstante in einem Stellenwertsystem nur angenähert ausdrücken. Die ersten 100 Nachkommastellen sind

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 9
Die letzte Ziffer wurde dabei abgerundet.

Der derzeitige Rekord der Berechnung von π wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI-Supercomputer mit 1.241.100.000.000 (1,2 Billionen) Stellen gehalten. An der 1.142.905.318.634. Nachkommastelle von π findet man laut Yasumasa Kanada wieder die Folge 314159265358.