¿Integral de sen^2 x?

Question

Necesito los pasos para sacar la integral de seno cuadrado de x. Sé que el resultado es - ( sin (2x) - 2x ) / 4, pero no he podido llegar a este.

Answer 1

cambias seno al cuadrado de x, por uno menos cos2x, entre dos, luego separas en dos integrales, la primera es 1/2por integral de dx menos 1/2por integral de cos2x, en la segunda llama u=2x
du=2dx, du/2 = dx, queda asi
1/2integral dx - 1/4integral cosu.du
1/2.x - 1/4(senu) = 1/2.x - 1/4sen2x, sacando minimo
(2x - sen2x)/4, multiplicando por -1, nos queda
-(-2x + sen2x)/4 o si quieres -(sen2x - 2x)/4, si la integral es indefinida, recuerda agregar + c a la respuesta

Answer 2

Vamos a ver, la solución a esta integral es sencilla: Se trata de una integral tipo "pescadilla", es decir, de la que se muerden la cola. Vamos a resolverla:

int (senx·senx·dx)
nota. (Denominaremos int al signo de integrar)

Resolvemos la integral por partes. Para ello tomamos:

u=senx du=cosx·dx
dv=senx·dx v= -cosx

Con ello tenemos:

int (sen^2x)= -senx·cosx + int (cos^2x·dx)

Tomando el cambio siguiente:

cos^2x= 1 - sen^2x (importante hacer este cambio)

nos queda:

int (sen^2x·dx)= -senx·cosx + int(1 - sen^2x)·dx

int (sen^2x·dx)= -senx·cosx + int (dx) - int(sen^2·dx)

Pasando el último miembro al primer factor:

int (sen^2x·dx) + int (sen^2x·dx) = -senx·cosx + int (dx)

2 · int (sen^2x·dx) = -senx·cosx + x

Por lo tanto:

int (sen^2x·dx)= (-senx·cosx + x ) /2 + C


Con esto ya tienes la solución a la integral ( no olvides la constante de integración al final)

Espero que te haya servido, saludos!

Answer 3

Hola, el problema no es necesario resolverlo mediante la integración por partes, se puede resolver más fácilmente usando la identidad trigonométrica que sigue:
(sen x)^2 = (1 - cos 2x)/2
ahora, la integral se expresaría de la siguiente manera:

Integral[ (sen x)^2 ] dx
= Integral[ (1 - cos 2x)/2 ] dx
= (1/2) Integral (1 - cos 2x) dx
= (1/2) [ Integral (1) dx - Integral [cos 2x] dx ]
= (1/2) [ [ x + C1 ] - [ (1/2) Integral [cos 2x] (2dx) ] ]
= (1/2) [ [ x + C1 ] - [ (1/2) [ (sen 2x) + C2] ] ]
= (1/2) x + (1/2) C1 - (1/4) (sen 2x + C2)
= (1/2) x + (1/2) C1 - (1/4) sen 2x - (1/4) C2
= (1/2) x - (1/4) sen 2x + [ (1/2) C1 - (1/4) C2 ]
= (2/2) (1/2) x - (1/4) sen 2x + C
= (2/4) x - (1/4) sen 2x + C
= - (1/4) sen 2x + (2/4) x + C
= - [ sen 2x - 2x ] / 4 + C

donde C1 y C2 son las constantes de integración asociadas a las integrales de 1 y (- cos 2x) y además C = (1/2) C1 - (1/4) C2

Espero te sea de utilidad el resultado

Answer 4

Por propiedad el (senx)^2 es igual a 1/2(1-cos(2x))

al realizar la integral te queda:

integral[1/2-1/2cos(2x)]dx

-integral de 1/2 es 1/2x

-integral de -1/2cos(2x) es-1/4sen(2x)

al final:
integral[ (senx)^2]dx=1/2x-1/4[sen(2x)]

Answer 5

a pesar de q ya te contestaron tan bien queria comentar que ese metodo de integracion yo lo conocia por integracion por partes.. tal vez te suena mas familiar asi..