otra pregunta sobre derivadas?

Question

Resolver:
3.-se desea construir una caja de base cuadrada disponiendo de 300dm³ de material.Encuentre las dimensiones para que el volumén sea el minimo.

Answer 1

El postulado debe tener algún error. Primero porque das un volumen de material y luego pides que éste sea mínimo (¿pero si estás diciendo que es 300 dm^3?) Me imagino que hablas de 300 dm *cuadrados*. Por otro lado, no tiene sentido pedir el mínimo, porque no existe, a menos que llamemos "caja con volumen interno igual a cero" a dos planchas enfrentadas de 150 dm^2 cada una. Por eso supongo que lo que necesitas saber es el *máximo*.

Para resolverlo puedes usar el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ver cómo es busca en la bibliografía. Te muestro la resolución para este caso:

Llamando x a la longitud de cada lado de la base (que es cuadrada) e y a la altura, tenemos que el volúmen es:

f(x,y) = (x^2)y

Por otro lado, la restricción es:

g(x,y) = 2(x^2) + 4xy - 300 dm^2 = 0

(Los primeros dos términos son la suma de las superficies de los lados)

Primeros hallamos los gradientes:

grad(f) = (2xy ; x^2)
grad(g) = (4x + 4y ; 4x)

Luego planteamos

grad(f) = lambda * grad(g)

Así construímos el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Las dos primeras provienen de la relación de los gradientes, la tercera es la restricción:

4x + 4y = 2xy*lambda
4x = (x^2)*lambda
2(x^2) + 4xy = 300 dm^2

Para resolverlo, en la segunda ecuación dividimos por x, nos queda que x*lambda=4, reemplazamos en la primera y nos queda 4x+4y=8y, lo que significa que x=y. Reemplazamos en la restricción para obtener x=raiz_cuadrada(50 dm^2) que es aproximadamente 7,07 dm.

Este es un extremo, el método no te dice si es máximo o mínimo, pero viéndolo geométricamente, o calculando el volumen para valores diferentes a 7,07 dm que cumplan la restricción, puedes observar que se trata de un máximo.

Por lo tanto, la caja de volumen máximo con 300 dm^2 de paredes tendrá largo=ancho=altura=7,07 dm.

Answer 2

Una duda, ¿la parte "se dispone de 300 dm³ de material" es correcto? porque si el volumen debe ser mínimo ¿para que te dan ese dato? Ya te están dando el volumen!

¿No serán 300 m² (metros cuadrados)?

Answer 3

ja ja. Pues no sé, yo por eso hago mi tarea despues de la clase sino se me olvida como hacerla,

Answer 4

esa es una preg. clasica de derivadas....en la universidad me toco esa pregunta..... no la respondi, abandone mi carrera el 2do año...jajajajaja