Indovinello matematico?

Question

Dato un numero A positivo qualunque (anche non intero),
1) si estragga la radice della radice (cioé la radice quarta)
2) si moltiplichi il risultato per A
e a partire dal valore ottenuto, si ricominci dal punto 1.
Cosa si ottiene se si itera la procedura contenuta nei punti 1) e 2) "abbastanza a lungo"? Motivare la risposta.

Non è così indigesto come sembra, basta provare su una calcolatrice tascabile (che abbia almeno il tasto della radice quadrata) a partire da un numero qualunque, per esempio 2197!
;)

Da notare che i due passi della procedura hanno effetto opposto, uno di essi amplifica il risultato, mentre l'altro lo rimpicciolisce, il tutto in modo tale che non si vada a finire né a zero né all'infinito.

P.S. Attenzione! Nell'iterazione del punto 2) è scritto testualmente che si moltiplica per il valore originario A, e non per il risultato dell'iterazione precedente (come sembra aver considerato Arpanonno)

Ehi!!! perché non provate direttamente la procedura indicata su un esempio particolare invece di partire con il caso generale? Inoltre bisogna sempre leggere bene il testo della domanda prima di andare avanti, e quando si arriva a un risultato avere la pazienza (e l'umiltà) di verificarlo praticamente. Noto che molti (tutti?) qui sembrano avere un approccio troppo teorico e poco pratico (deformazione scolastica che inesorabilmente porta a risultati errati se non si è già molto smaliziati).
E' una critica? Voi non prendetela così e non lo sarà per voi!

Answer 1

Allora.... vediamo un po ... mi sembra di capire che ad ogni iterazione si elevi tutto a lla 1/4 e si moltiplichi per A
in sostanza il risultato è il seguente
x0=A
x1=A^(1/4+1)
x2=A^(1/(4^2) + 1/4 +1)
...

xN=A^(S[i=0->N]1/(4^i) )
Scusate la notazione: si legge "A alla sommatoria con i che va da 0 a N di uno fratto quattro alla i"
Tale serie risulta convergente essendo il temine sotto potenza (1/4) minore di uno

in particolare si ha
S[i=0->N] alfa^i = 1/(1-alfa) se alfa<1
nel nostro caso alfa=1/4
Quindi
xN=A^(S[i=0->N]1/(4^i) )=A^(S[i=0->N]((1/4)^i) )=A^(1/(1-(1/4)))=A^(4/3)
Pertanto il risultato è A^4/3
Questo se nel punto due tu ogni volta moltiplichi per A enon per il numero precedente della serie

PS Per price_j99 ... meno superbia ragazzino! cerca di dare risposte comprensibili piuttosto

Answer 2

Secondo me la serie è uguale a
x elevato alla frazione che ha come numeratore la sommatoria per n che va da 0 a k di 4 elevato a n e come denominatore 4^n

e tende a un valore costante

ho fatto un programmino: http://www.multiplayer.it/daniele/sq.php?x=2

Answer 3

tende ad un valore costante...il delta tra le iterazioni i-1 e i tende a ridursi..di fatto, il delta derivante dalla sottrazione dei valori a i-1 e i, tende a zero per infinite iterazioni..

Answer 4

Scusa l'approccio teorico :-P Se esiste un attrattore T, poichè la successione è data da x(n)= x(n-1)^(1/4)*A , e x(0)=A, dovrà essere T=T^(1/4)*A cioè
T=A^(4/3).
Ho perso ormai tutti i ricordi di equazioni alle differenze, mi sembra che la funzione radice quarta sia a crescita sufficientemente lenta da poter applicare qualche criterio alla Lyapunov e dimostrare l'effettiva natura di T, ma prima di dire abomini mi cheto

PS comunque del risultato son sicuro, Sim l'ha ricavato in modo esplicito, io ho supposto che esista un punto di attrazione e son passato al limite per n a infinito. Quoto sim anche per il resto...se è così facile almeno dalla giusta la risposta

Answer 5

Allora la serie è uguale a

x elevato alla frazione che ha come numeratore la sommatoria per n che va da 0 a k di 4 elevato a n e come denominatore 4^n

e tende a un valore costante


Vedi il link per qualche esempio pratico

Answer 6

(A*A^1/4*A^1/4*A^1/16)*(A^1/4*A^1/16*A^1/16*A^1/64)*....
(A*A^1/4*A^1/4*A^1/16)=B

Il prodotto P dove i=1 e tende all'infinito di (B^1/4i);

P(B^1/4i)
i=1

Posso dirti che il limite quando i tende all'infinito è uguale a 0.

Cerca di fare domande più difficili!

Answer 7

se è più piccolo di 1 ci si avvicina a 0. Se è più grande di 1 va all'infinito. Se è 1 rimane 1.

Answer 8

beh, al primo passaggio si fa x^(5/4)
iterando n volte si fa x^((5/4)^n)
e visto che 5/4>1 limn->inf 5/4^n=inf
il tuo calcolo fa 0 se x<1, infinito se x>1, 1 se x=1


ok, allora l'esponente fa una cosa del tipo (1+n/4)^n che tende a e^1/4
quindi il risultato è A^e^1/4
anzi no, lìesponente si può scrivere come frazione continua. purtroppo non sono esperto e non ho tempo di cercare come si risolve. però ad occhio dovrebbe esserci la convergenza

Answer 9

x^4 -> x * x^4 = x^5
x^5 -> x^2 * x^5 = x^6
e così via... prima o poi si arriva all'infinito.

Answer 10

WOW!!!!!! e chi se li ricorda più.....