Dérivation du logarithme complexe?

Question

Voilà, j'ai un petit problème.

Je voulais définir le logarithme partout dans C (corps des complexes)

J'ai donc pensé à utiliser comme ensemble d'arrivée C/(2i pi),
et tant qu'à faire, je me suis placé dans la sphère de Riemann, et j'ai complété C/(2i pi)

J'ai donc une fonction ln définie de C U {inf} dans C/(2i pi) U {-inf, +inf} par: ln(0) = -inf, ln(inf) = +inf, ln(r e^it) = ln r + it [2i pi]

La continuité, ça va, mais maintenant comment je fais pour dériver cette fonction?

gco111: Certes Wikipedia pose bien le problème, mais ne m'avance pas plus.

Le scientifique: Je cherche une solution globale, sur C U {inf}

nu'fi: Si, le ln en question est continu en 0 et inf. (pt M>0, ex N>0 (exp M par ex.) tq |z| > N => Re(ln z) > M, donc ln continue en inf, par exemple)

Answer 1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

Answer 2

Tu peux par exemple voir le log comme serie entiere et definir sa derivee comme la serie derivee. Bien sur il te faudra faire tres attention aux domaines de convergence de la serie pour pouvoir definir la derivee ainsi que le log.

Juste une question: comment as tu definis la notion de infini sur C: car il ya plusieurs directions possibles par exemple 1 + i*inf est aussi un infini et inf + 2*i en est un autre. Donc si on considere par exemple la fonction z-> 1/z cette fonction converge vers inf+inf*i. Donc comment fais tu la difference entre ces differents types d'infinis.

Answer 3

Voici quelles sites web à explorer pour votre problème.

Answer 4

Justement la continuité ça ne va pas.
ln étant définie mais pas continue en o ni en inf ne saurait être dérivable en ces points. Quant à calculer la dérivée aux point r e^it reveindrait à caluculer (ln r + it [2i pi])'.Est ce dernier cas qui te pose problème?