Ecuaciones diferenciales. dos problemas de parcial?

Question

Ayuda, acabo de rendir y no tengo ni idea de como se hacian estos ejercicios. Ahi les va.

1 - En un tanque hay 50 lts de una solucion de 90% agua y 10% alcohol. Se le agregan 4 lts/min de una solución de 50% agua y 50% alcohol y se perfora el tanque para que salgan 5 lts/min. Suponiendo que la mezcla es siempre uniforme. Cuanto alcohol habrá en la mezcla luego de 10min y cuanto liquido habrá?.

2 - Una sustancia (S1) se transforma en otra (S2) a una velocidad proporcional a la cantidad de (S1) restante. Si la cantidad inicial de (S1) es 20gramos y luego de una hora quedan 16gramos. En cuanto tiempo se habrá transformado el 75% de (S1).

Answer 1

Cuando hablas de "parcial" supongo que te refieres a un examen parcial y no al tipo de ecuaciones diferenciales que se deben utilizar para resolverlos. Si esto es correcto, entonces hay que hacer lo siguiente (te voy a dar las pistas porque resolver una eq, diferencial en este espacio sería complicado ya que es modo texto):

1) El primer problema es de dilución en tanques. Necesitas aplicar el siguiente balance de materiales:

Tasa de acumulación = Tasa de entrada - Tasa de salida

Se debe plantear una ecuación para calcular la cantidad de alcohol que hay en el tanque en un instante cualquiera "t"

Sean x los litros de alcohol en el tanque en el instante "t", entonces:

dx/dt = tasa de acumulación de alcohol

dx/dt = V1*C1 - V2*C2 (de acuerdo al balance descrito arriba)...(Eq.1)

La concentración que buscamos es C2, que se calcula como sigue:

C2 = x/(Q+(V1-V2)*t)

donde: Q= volumen de solución total en el tanque (lts)
.........V1= Flujo en la alimentación (lts/min)
.........V2 =Flujo en la salida (lts/min)

sustituyendo en la Eq.1 tenemos:

dx/dt = V1C1 - V2*[x/Q+(V1-V2)*t]......(Eq.2)

La Eq.2 es la ecuación diferencial que buscábamos. Te puedes dar cuenta que es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Reordenamos los términos para que la ecuación Eq.2 tome la forma canónica:

dx/dt + V2*[x/Q+(V1-V2)*t] = V1C1

Utilizando condiciones iniciales (chécalas) y un factor integrante puedes obtener fácilmente la solución general.

2) Respecto a la parte dos, es similar a la de desintegración radiactiva, por lo tanto, el modelo más sencillo es:

dN/dt = -kN

siendo N = la cantidad de sustancia S1 que se transforma en S2

Es fácil de resolver porque es de variables separables.

Espero te sea de utilidad.

Suerte!

Answer 2

Respecto a la solución del problema 1 de CHESLARRU deseo hacer un par de observaciones para complementar. 1. El problema es un problema de valor inicial con la condición x(0)=5 (usando la misma notación de la solución de Cheslarru). 2. Tener en cuenta que dado que la rapidez de salida del flujo es mayor que la rapidez de entrada el volumen total dentro del tanque está disminuyendo.