demostraciones en numeros complejos con valor absoluto :s?

Question

Hola, a ver necesito una ayudita con lo siguientes ejercicios:
Demostrar que para todo z1,z2 pertenecientes a los complejos:

|z1+z2|<=|z1|+|z2|
||z1|+|z2||<>|z1|+|z2|
z(negado 2 veces) = z
(z1+z2)(negados a la vez)=z1+z2 (negados independientemente)

en fin, con que alguien me eche una mano con esto ,ya me haria un gran favor.
gracias de antemano

Answer 1

La primera proposición es la que se conoce como la "desigualdad del triángulo" (requiere un diagrama para su demostración)

te sugiero revisar la página:

http://www.mathopenref.com/triangleinequality.html

El segundo enunciado resulta de la primera desigualdad, ya que se está obteniendo el valor absoluto de los valores absolutos de cada complejo.

El tercer enunciado requiere recordar que z(tilde) es el complejo conjugado de z y por lo tanto:

si z = a + bi
entonces : z(tilde) = a-bi

si a z(tilde) le calculamos su conjugado:

z(doble tilde) = a-(-bi) = a+bi = z quedando así demostrado

El cuarto enuenciado:

(z1+z2)(tilde) = z1(tilde) + z2(tilde)

recordando que: z1=a1+b1*i
y que:................z2=a2+b2*i

Entonces:

(a1+b1*i + a2 +b2*i) (tilde) = a1 - b1*i + a2 - b1*i

como por definición : z1(tilde)= a1 - b1*i
y que : .....................z2(tilde)= a2 - b2*i

entonces:

(z1+z2) (tilde) = z1(tilde) + z2(tilde) quedando así demostrado


Espero sea de utilidad:

Suerte!

Answer 2

Saludos!
Para las primeras 2 checa el libro de Marsden de variable compleja, ahi vienen las demostraciones de la desigualdad del traingulo (que es la primera) y la desigualdad del triangulo para restas (que es la segunda)

Answer 3

Te puedo ayudar en las últimas 2, solo tenés que escribir z=a+bi: (a=parte real, b=parte imaginaria)
Z(negado)= a-bi (se le cambia el signo a la parte imaginaria). Lo volves a negar y te queda: a+bi (llegas al z del que partiste)

La Segunda se resuelve igual, pero como tenes z1 y z2 tenes que poner más letras, es decir, z1= a+bi, z2=c+di
z1+z2= (a+c)+ (b+d)i, esto negado es = (a+c) - (b+d)i. Ahora separas esto, distribuyendo la i, y te queda:
(a-bi) + (c-di)= zi negado + z2 negado

Saludos

Answer 4

Yo creo que esto se resuelve haciendo tablas de verdad.
En las variables para el último, por ejemplo ¬(z1 + z2) = ¬z1 + ¬z2 tendrías las variables z1 y z2, luego tendrías que hacer la suma lógica de [ (z1 + z2) ] mediante el condicional ^ ( i ) y luego negarlo; después hacer la negación de z1 y la negación de z2 y sumar la conjunción ^ otra vez. Por último tendrías que comprobar que el resultado de la primera suma con la seunda son iguales en la tabla de verdad.

Si me das tu dirección de e-mail creo que podría resolverte los problemas. Porque por aquí es bastante difícil explicarlo de una forma que sea entendible.

Si tienes cualquier duda, te dejo mi dirección [e-mail] . No sé si es mediante tablas lógicas la forma de resolverlo, pero mediante este proceso se pueden resolver fácilmente.

Sólo tengo una duda con los problemas que has puesto... el segundo el signo <> se supone que es un bicondicional, que sería <=> o también <->
También estoy algo dudoso con la forma de resolver la primera demostración, pero intentaré resolverte las dudas.