a * b + 1 = quadratzahl ?

Question

Es sei n eine natürliche Zahl mit n > 0. Des weiteren seien a = 11...1 die Zahl, deren Ziffernfolge aus n Einsen besteht, und b = 10...05 die zahl, deren Ziffernfolge aus einer Eins, n - 1 Nullen und einer Fünf besteht.
Beweise, dass unter diesen Voraussetzungen a * b + 1 eine Quadratzahl ist.

Answer 1

(10^n-1)/9 * (10^n+5) +1 ist eine Quadratzahl
a*b-1
= (10^n-1)/9 * (10^n+5) + 1
= 10^(2*n)/9 + 5/9 * 10^n - 10^n/9 -5/9 + 1
= 10^(2*n)/9 + 4/9 * 10^n + 4/9
= ((10^n)/3)² + 2 * 2/3 * (10^n)/3 + (2/3)²
= ((10^n)/3+2/3)² QED.

Answer 2

n x (n+2) + 1 = (n + 1)(n+1) >>> n x n + 2n + 1 (perfekt Quadrat Equation)

> 1 x (1+2) + 1 = (1 + 1) (1 + 1)
> 2 x (2 + 2) + 1 = (2 + 1) (2 + 1)
>
>
> 9 x (9 + 2) + 1 = (9 + 1) (9 + 1) C. Q. D.

Answer 3

das wird unnötig verkompliziert. Schöner ist

jede Zahl, die als Polynom dargestellt, n 1 und n 5 hat, +1 ist gleich dem quadrat einer Zahl, die ( n-1 ) 3 und 4 hat

also

1155+1=34^2
1111155555+1= 33334^2

das ist übrigens ein uraltes Chinesisches Rätsel bzw. Theorem.
Den Beweis findet man aus dem ebenfalls uralten chinesischen Zahlendreieck.

Answer 4

2*4 + 1 = 9
So, und dein Spezialwissen um einen Furz von der Schule gehört nicht hier hin

Answer 5

es ist so weil ich wenn ich morgen aufstehe und in den himmel gucke auch eine sorry 1 sonne seh und deshalb das licht auch nur einen meiner reitze stimuliert und ich auß diesem grund zu der erkenntniss gelkommen bin, das fruitloops auch so schmecken wie sie aussehen.ist so und da kann man nichts dran machen.es sei denn du kauft dein fleisch an der tankstelle.denn da sind die ölpreise anders als bei meinem friseur.