¿Còmo deducir la fòrmula del volumen de una esfera?

Question

¿còmo se deduce la fòrmula v=(4/3)(pi)(r^3) sin hacer uso de integrales?

Answer 1

Como te dijeron antes, se puede calcular fácilmente a partir del área de la esfera (4*pi*r^2):

Divide la superficie de la esfera en pequeños polígonos iguales (bah en realidad no estarías dividiendo la superficie sino aproximándola por polígonos, como en las bolas espejadas que se usaban en los boliches/antros de música disco). Que cada uno de estos polígonos sea la base de una pirámide con vértice en el origen de la esfera. La suma de los volúmenes de estas pirámides es aproximadamente el volúmen de la esfera (mientras más pequeños los polígonos, mejor la aproximación). El volúmen de cada pirámide es:

área del polígono base * altura / 3

La altura es igual para todas las pirámides. Por lo tanto, el volúmen de la esfera es aproximadamente igual a:

sumatoria(área polígono base * altura / 3) = (altura / 3) * sumatoria(área polígono base)

Mientras más chicos son los polígonos, más aproximada al radio es la altura de las pirámides, más aproximada al área de la esfera es el último factor (la sumatoria), y más aproximada al volúmen de la esfera es el resultado. En el límite tenemos:

volúmen de la esfera = (r / 3) * área de la esfera = (4*pi*r^3)/3

Answer 2

Encontré en internet un sitio donde responden tu misma pregunta, pero en inglés. Por lo tanto, te doy el dato:

http://mathforum.org/library/drmath/view/55135.html

Disculpa si te doy esta escueta respuesta pero el quela respondió en ese sitio, lo tuvo que hacer usando diagramas muy austeros como los que utilizamos en Yahoo Respuestas.

Suerte!

Answer 3

Desafortunadamente creo que solo se deduce mediante integrales. Pero aunque no tengo la demostración lo puedes obtener apartir de la integral de la superficie de una esfera 4¶ r^2
( ¶ lo escribi oprimiendo la tecla ALT y tecleando 244al mismo tiempo )

Answer 4

A ver ....
Tenemos que SC es la superficie de una circunferencia , que seria :

SC=(2 * Pi * (r2))

luego....lo hacemos girar 180 grados para cubrir el volumen del plano de modo que un punto x quede en el lado opuesto respecto al centro de la esfera.

Volumen = SC * ( Pi *r)

y me parece que ya esta ,puede que olvide algo.

Estoy mal ?


Saludos.