¿Cómo se resuelve una ecuación de tercer grado?

Question

¿Cuál es el algoritmo básico para resolver una ecuación de grado 3?
Concretamente, quiero resolver la ecuación:
2x^3+x^2-3=0
(Sólo necesito trabajar en los números reales)

Answer 1

Hola
Puedes utilizar el método de Ruffini para hallar las 3 raíces de tu ecuación.
Haciéndolo así quedaría: (x-1)(2x^2+3x+3)=0.
La solución en los números reales sería x=1, al resolver la ecuación de segundo grado obtienes valores imaginarios.

Answer 2

Ecuaciones de tercer grado (cúbicas)

Si tenemos la ecuación general y=ax3 +bx2 + cx + d = 0 mediante el cambio de variable z = x + b/3a; pasamos a otra ecuación, llamada reducida de la forma:

Y=x3 + cx +d =0. Esta ecuación se resuelve mediante las formulas de Cardano, pero nosotros utilizaremos otro enfoque.

En el caso de la ecuación cúbica la relación entre sus coeficientes y raíces, esta dada por:

x1+x2 + x3 = -b; x1x2 + x1x3 + x2x3 = c; x1x2x3 = -d

Para el caso de la ecuación reducida b=0: . x1+x2+x3=0 :. x3 = -(x1 +x2); que reemplazado en la ecuación de c, tendremos x1x2 + x3(x1 +x2 ) = x1x2 –(x1 +x2) 2 =
x1 x2 -(x12 + x22 +2x1x2) =c: . x12 + x22 + x1x2 +c=0.

Ahora expresaremos x2= f(x1)

x2= -x1/2   (x1/2)2 –(c+ x12 ) = -x1/2   -(3/4x12 +c) =- x1/2  i 3(x1/2)2 +c





Esto nos nuestra que las tres raíces de la ecuación cúbica esta dada por:

x1 =x1

x2 =-x1/2 + i 3 x1/2 2 +c



x3 = -x1/2 – i 3 x1/2 2+c




Esto nos dice, que si bien hay tres raíces, hay una sola incógnita x1; ya que determinada esta quedan automáticamente definidas x2, x3 ,mediante una simple operación. Que x2, x3 son simétricas con respecto a –x1/2 ; y en este caso la dispersión simétrica vale.

i3(x1/2) 2 + c.

También vemos que en el caso más general tendremos una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Dependiendo del signo del radicando podemos llegar a tener tres raíces reales.


Representando gráficamente tendremos: x2 y x3

Con módulo x21 + c y argumento Cos  x1/2 x12 + c

Cos  1  2 1+ c/x12

:.  =Cos-1 1 2 1 + c/x12


A
hora surge la pregunta más importante. Cómo determinamos x1?
Utilizaremos el proceso de iteración (repetición) mediante una calculadora científica:
Para ello colocaremos a x3 + cx + d =0 en la forma x(x2 + c) =-d ; y seguiremos la siguiente secuencia de cálculo.
Primeramente haremos un examen visual de la expresión y apreciaremos el orden que debe tener x1 , dependiendo de c y d

teclear valor
ingresar en memoria
elevar al cuadrado
sumar c
 igual
multiplicar
llamar memoria
igual







comparar el valor obtenido con – d.

Corregir el valor x1 , de manera de ir obteniendo una convergencia hacia –d.




Con un poco de práctica, en pocos minutos se puede obtener un buen resultado.
Si contamos con una calculadora programable la secuencia anterior, puede servir de base para un programa de cálculo, el cual una vez incorporado nos resolverá el problema rápidamente y con la exactitud requerida.
Obtenida x1, la reemplazamos en las expresiones que determinan x2 y x3 ; y habremos resuelto la ecuación totalmente.
Algo de destacar es que cuando hicimos el desarrollo x1x2 –(x1 + x2)2 = c debido a que x1+x2 =-x3 :. x1x2 – x23 = c. Haciendo una rotación de índices obtenemos las expresiones adicionales:

x1x3- x22= c

x2x3 – x21 = c

Para verificar este aserto, tomamos el caso x1 = 2 ; x2 = 4;x3 =-6 ; que corresponde a la ecuación
y=x3 –28x +48=0.


Si reemplazamos adecuadamente los valores de x1 , x2 y x3 en dichas expresiones, siempre obtendremos c=-28. Pero esto no solo es válido para este ejemplo con valores reales, sino también cuando existen raices complejas conjugadas lo cual lo podrá verificar el lector curioso, que se decida hacerlo.
Una vez obtenidos x1, x2 y x3 convienen hacer una verificación rápida, para ver si no se ha cometido un error.


Para ello, lo más conveniente es constatar si se cumplen las condiciones:

x1 +x2 +x3 =0 ; x1x2x3= -d.


La verificación definitiva, vendrá cuando sé reemplazen x2 y x3, en la ecuación y se cumpla la condición y=0

Answer 3

Hay varios metodos para resolver ecuaciones con grado superior a 2, este es uno:

http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm

Otro es aplicando el metodo de Newton - Rapson para aproximar las raices de una ecuacion.

X[n] = X[n-1] - F(X[n-1])/F '(X[n-1])

Hay que tener en cuenta que uno debe conocer la derivada de la funcion, pero como en este caso es una funcion polinomica de 3º grado, su derivada es muy sencilla.

Para mas informacion:
http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad2/Newton.htm

Answer 4

esta medio tedioso escribirlo por este medio te mando ese link para que revises como es el algoritmo:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado

esta medio revoltoso pero si vas siguiendo los pasos como se indica puedes resolver fácilmente cualquier ecuación de tercer grado

si no le entiende al algoritmo aquí te mando la formula general para una ecuación de tercer grado que es como la de segundo pero esta mas fea:

http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm

por cierto, la ecuacion que pones solo tiene un resultado en los numeros reales
X=1

Answer 5

Mira, casi siempre que te den a resolver un polinomio de grado mayor a 2 tienes alguna raiz evidente o trivial, fácil de sacar. En el que tú trajiste esa raiz es 1, ya que reemplazando x por 1 se cumple la igualdad. Ahora sabes que tu polinomio de tercer grado es divisible por x-1, al dividirlo te queda un polinomio de segundo grado que se resuelve aplicando: x=(-b+/-sqrt(b^2-4ac))/2a.
. Para tu desgracia las otras dos raices no son reales, el polinomio resultante de dividir 2x^3+x^2-3 por x-1 es 2x^2+3x+3 y sus raices son -3+/-sqrt-15/4 , ambas imaginarias.
Saludos,
ROBERTO