La racine carrée d'un entier naturel qui n'est pas un carré parfait est forcément un nombre irrationnel. J'en suis persuadé mais je ne sais pas le démontrer. Et vous?
2006-09-17 06:10:49 · 10 réponses · demandé par P. C 4 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
soit n un entier doc la racine est dans Q.
Il existe p et q entiers premiers entre eux tels que p²/q²=n
p²=n q² donc q divise p x p
d'après le théorème de gausse, si a et b sont premiers entre eux et a divise b x c, alors a divise c.
donc si q divise p x p et q et p sont premiers entre eux, q divise p.
q divise p et q et p sont premiers entre eux donc q = 1
ainsi, n = p², donc n est un carré parfait.
Par contraposé, tout entier dont la racine n'est pas entier a une racine irrationelle.
2006-09-17 22:49:42 · answer #1 · answered by frenchroms 2 · 0⤊ 0⤋
c'est trivial (enfin niveau TS quoi)
j'ai déjà rédigé la démo sur Yahoo et ça me casse les couilles de le refaire...
2006-09-18 09:07:50 · answer #2 · answered by Ludovic 3 · 0⤊ 0⤋
La demonstration de Frenchrom... est correcte.
2006-09-18 06:29:00 · answer #3 · answered by Le scientifique 2 · 0⤊ 0⤋
O'Timmins, la démonstration que tu donnes pour 2^(1/2) est connue, cependant me semble poser un problème :
..............
p²/q² = n
p² = nq²
n divise p (*)
....................
n divise p², peut-on en déduire immédiatement qu'il divise p ? Exemple : 25 divise 100 sans pour autant diviser 10
2006-09-17 15:45:13 · answer #4 · answered by Obelix 7 · 0⤊ 0⤋
Peut- etre connais tu la démo qui prouve que racine de2 n'est pas un rationnel ?
Je pense qu'on peut faire l'étendre aux nobres dont tu parles :
suppposons que p/q = rac(n) avec p et q premiers entre eux alors p²/q² = n
p² = nq²
n divise p (*)
posons p=kn
(kn)² = nq²
k²n² = nq²
k²n = q²
n divise q (**)
(*) et (**) contredisent le fait que p et q soient premiers entre eux!!!
si quelqu'un pouvait confirmer ça serait sympa.
POur obélix : IL faut effectivement rajouter le "lemme" suivant :
Si N est un multiple de M , alors N² est aussi un multiple de M, et si N n'est pas un multiple de M , alors N² n'est pas un multiple de M.
2006-09-17 14:46:02 · answer #5 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
alors...si je prends x au carré que multiplie trois, divisé par l'âge qu'aurait eu ma mère à 16 ans si elle avait vécu au moyen âge....le tout -y +E=mc2 ....cela donne....INCROYABLE !....ma soeur!!!
2006-09-17 13:47:57 · answer #6 · answered by Anonymous · 1⤊ 1⤋
Voir la démonstration dans votre livre de mathématiques dans l'ensemble R
2006-09-17 13:12:25 · answer #7 · answered by Momo 7 · 0⤊ 0⤋
Vous pouvez répéter la question ???
2006-09-17 13:21:38 · answer #8 · answered by gentilmec2 4 · 0⤊ 1⤋
J'écoute les "ramones" là je ne peu pas réfléchir avec tout ce bruit.
2006-09-17 13:14:23 · answer #9 · answered by Anonymous · 0⤊ 1⤋
Encore un qui se triture les méninges !!!
2006-09-17 13:12:02 · answer #10 · answered by Maximus 4 · 0⤊ 1⤋