inegalité mathematique?

Question

soit x,y,z 3 reel positives tel que x^2+y^2+z^2=2 montrer que : x+y+z est inferieur ou egal à xyz+2 ; 10 points pour le premier qui trouve la bonne reponse

indication: developper le produit (1-xy)(1-yz)(1-zx) et verifier que 1-xy=((x-y)^2 +z^2)/2....

Answer 1

1/2((x-y)²+z²=1/2(x²+y²+z²-2xy)=1-xy
idem en faisant permuter x,y et z.
Nous avons donc:
(1-xy)(1-yz)(1-zx)>0 car produit de carré (c'est évidemment > ou = à chaque fois mais avec le clavier ça fait perdre un peu de temps)
Ensuite, on obtient
(1-xy)(1-yz)(1-zx)=1-(xy+yz+zx)+xyz(x+y+z+xyz)
=1-[1/2(x+y+z)²-1]+xyz(x+y+z+xyz)

A partir de là, on va appeler A=x+y+z et B=xyz, A et B sont tous deux positifs (car x, y et z positifs)

On a donc
(1-xy)(1-yz)(1-zx)=2+B(A+B)-1/2 A² > 0
soit -A²+2AB-2B²+4>0
en utilisant le développement de (A-B-2)² on retrouve:
-A²+2AB-2B²+4=-(A-B-2)²-B²-4(A-B-2)>0
soit (A-B-2)²+B²+4(A-B-2)<0
(A-B-2)² et B² sont positifs, donc nécessairement
A-B-2<0
A x+y+z
PS.: ce n'est probablement pas le plus simple, mais un vendredi à minuit je ne peux guère faire mieux...

Answer 2

Maverick,

J'ai aussi obtenu x+y+z-xyz>0, je crois que ce que tu as écrit est correct - ce n'est pas en contradiction avec x+y+z-xyz<=2 ..., ce qui est demandé. Je cherche

Answer 3

Je me lance ^_^

1/2((x-y)²+z²) = 1/2(x²+y²+z²-2xy) = 1-xy !
Pareil pour les 2 autres...

Donc (1-xy)(1-yz)(1-xz) > 0 puisque c'est la multiplication de sommes de carrés (produit (1))

(1-xy)(1-yz)(1-xz) = 1-(xz+yz+xy) + xyz(x+y+z-xyz) après facto et simplification (2)

Or (x+y+z)² = (x²+y²+z²)+2xy+2xz+2yz donc
1-(xz+xy+zy) < 2 ! car (x+y+z)² > 0

Comme xyz est positif (réels positifs), il faut que x+y+z-xyz>0...

Et là je vois pas ou je me suis planté... il vient d'où ton 2 ?
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Mouais bien vu Free, faut faire un changement de variable
Par contre si je reprends ton dev de (A-B-2)² je trouve plutôt :

(A-B)²+4+4B-4A > 0

Donc 1+B > A et non pas 2+B > A

Pénible cette fenêtre de saisie, ca te coupe la fin des phrases si c'est du calcul mathématique !

Answer 4

Je vais me lancer aussi bien que j'ai pas bcp de tp maint :
1/2((x-y)²+z²) = 1/2(x²+y²+z²-2xy) = 1-xy
idem pour les 2 autres...

Donc (1-xy)(1-yz)(1-xz) = 1-(xz+yz+xy) + xyz(x+y+z-xyz) > 0 (*)
après simplification, elle est + car somme de carrés.

D'autre part : (x+y+z)² = (x²+y²+z²)+2xy+2xz+2yz =
= 2 + 2(xz+xy+zy) > 0
Donc : xz+xy+zy > - 1. (**)

On a: (*) <--> 1-(xz+yz+xy+1) + xyz(x+y+z-xyz) > -1 (-1 de chaque côté)

donc (*) <--> (xz+yz+xy+1) - xyz(x+y+z-xyz) < 2

Maint raisonons par l'absurde sur le fait à démontrer :
Supposons : x+y+z > xyz + 2 <--> xyz -(x+y+z) < -2 <0.

..................

Answer 5

pfff oulalalala
ben pour un vendredi soir ça va pas le faire...

Par contre mon CHATON :
le sigle ^ de notre ami signifie exposant...
^2 est donc un carré...

: )

Answer 6

moi pas comprendre le symbole mathématique ^