Pourquoi n'importe quel nombre mis à la puissance 0 est-il toujours égale à 1 ?

Question

regardez votre calculatrice et évitez de confondre 1 multiplié par 0 avec 1 élevé à la puissance 0....

regardez votre calculatrice et évitez de confondre un nombre X multiplié par 0 avec le même nombre X élevé à la puissance 0....

Answer 1

La raison est toute simple.

Quelque soit le nombre que tu prends qui est non nul, quand tu le met à la puissance 0 le résultat vaut 1.

Pourquoi? et bien démonstration avec 2 et 3 (pour les nombres négatifs, c'est pareil, et pour les nombres non-entiers c'est aussi pareil).

Tout le monde sait (j'espère) qu'un nombre à la puissance 1 c'est le nombre lui-même; ainsi 2 puissance 1 c'est 2, et 3 puissance 1, c'est 3.
Jusqu'ici, tout va bien.

Tout le monde sait aussi qu'un nombre à la puissance N vaut le nombre multiplié par le nombre à la puissance (N-1).
Ainsi 2 puissance 2 vaut 4, c'est à dire 2x2, et donc si 2 puissance 1 vaut 2, et bien 2 à la puissance 0 vaut 1 car 2x1 = 2. Pareil pour 3.
C'est accessoirement la définition même de la puissance.

Et bien il s'avère que si c'est vrai pour tous les nombres non nuls, le résultat est indeterminé pour 0. Car si 1 vaut 2 puissance 1 divisé par 2, ou 3 puissance 1 divisé par 3, on a du mal à divisé 0 (qui vaut 0 puissance1 bien évidemment)par 0.

Toutefois, on constate que si on prend un nombre très proche de 0, qu'il soit positif ou négatif, on a sa puissance 0 qui vaut évidemment 1, mais on a aussi un nombre encore plus proche de 0 (par exemple sa moitié) qui est également dans ce cas.

Autrement dit quelque soit un nombre le plus proche possible de 0, il existe toujours un nombre encore plus proche de 0 dont la puissance 0 vaut 1.

Alors, pour des raisons de continuité de la fonction "mise à la puissance 0", on décide que 0 puissance 0 vaut 1 dans la mesure où le nombre le plus proche de zéro à sa puissance 0 qui vaut 1, qu'il existe forcément un nombre encore plus proche de 0 dont la puissance 0 vaut aussi 1, que c'est vrai aussi bien pour la proximité négative que pour la proximité positive de 0, et que 0x1 vaut 0 (c'est à dire 0 puissance 1).
On appelle ça les valeurs aux limites.

De façon plus mathématique (j'ai un peu vulgarisé là), on voit que quelque soit le nombre au voisinage de 0, la valeur de la dérivée de la fonction "mise à la puissance 0" est nulle, et la valeur de la fonction dans ce même voisinage vaut 1. Donc par continuité de la fonction (pour la rendre continue, ce dont on a raisonnablement le droit puisqu'elle est dérivable en tout point sauf en zéro et avec la même valeur) on peut affirmer que 0 puissance 0 vaut 1 en prolongeant la fonction en 0.

Dans le même esprit, 0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999... = 1

Answer 2

Ce n'est pas vrai ;)

D'accord pour tout x différent de 0 on a :
x ^ 0 = x ^ (1 - 1)
=> x ^ 0 = x^1 * x^(-1)
=> x ^ 0 = x * (1/x)
=> x ^ 0 = x/x
=> x ^ 0 = 1


Par contre 0^0 est indéterminé.
Car par exemple si on pourrait "prolonger" le résultat précédent (qui est vrai pour ton nombre très très petit aussi) en 0, ca ne serait pas cohérant avec le fait que 0 ^ x = 0 (pour x != 0 aussi).

Answer 3

Il s'agit d'une convention, sans quoi beaucoup de choses n'auraient plus de sens en maths...

Rappelons que a^0 = exp ( 0 x ln (a)) ... La véritable question est donc :
pourquoi exp (0) = 1...

Il s'agit d'une propriété particulière de l'exponentielle, qui fait (fonction réciproque) que le log s'annule en 1,...
Or ln(1) = ln(1^0) = 0 x ln (1)...

Et si 0 ne peut être élevé à aucune puissance, c'est que ln(0) n'a pas de sens (que celui de valoir l'infini... donc aucun !).

J'avoue, c'est le serpent qui se mord la queue, mais je crois que sans cette propriété, tous les maths s'écroulent...

Answer 4

simple demenstration :
soit a un entier non nul.
x un nombre reel non nul
x(o) = x(a-a)
=x(a).x(-a)
=x(a)/x(a)
= 1 remarque : (a) veut dire puissece a

Answer 5

car A/A = A.A-1=A+1. A-1=A+1-1=A0 ...............................

(..puissance -1)
Puisance +1
puissance 0
quelque soit A different de 0
. = fois

Answer 6

purée vous êtes bons...

qq peut poser la question suivante :
pour i²= - 1
c'est l'histoire des nombres complexes.

Answer 7

Un nombre différent de 0 élevé à la puissance 0 donne bien 1, et non pas 0 comme certains l'affirment ici

C'est une convention, au même titre que x^(-n) = 1/x^n

De ce fait la règle x^(m+n) = x^m.x^n fonctionne pour tous entiers m et n relatifs, notamment si n=-m :

x^(m-m)=(x^m)/(x^m)=1=x^0

Answer 8

On a pour tt X et n.

X^0 * X^n = X^ (0+n) = X^n.

Donc : X^0 = 1.

Answer 9

C'est une convention. Personne n'arrive à le démontrer. Si on le change maintenant, cela va fausser tous les résultats connus.

Answer 10

Y'a pas une histoire de logarithme dans l'affaire? Les cours de math sont loin...