Berechnen eines Dreiecks?

Question

Eine Leiter von 7 Metern Länge steht an einer senkrechten Wand.
Unter der Leiter steht eine Kiste mit einer Kantenlänge von 1 Meter.
Die Leiter berürt die Kiste. In welcher Höhe trift sie die Wand.

Die Leiter hat in 1 Meter Höhe einen Wandabstand von 1 Meter

Answer 1

Ich weiss nicht, ob diese Ansätze alle zum gewünschten Ergebnis führen. Ich gebe hier mal meine Überlegungen preis wie die Aufgabe etwas anders formuliert werden kann:

Gesucht ist die Gerade, die die folgenden zwei Bedingung erfüllt:

Die Gerade läuft durch den Punkt (x1,y1) = (1,1)

Die Länge der Gerade definiert durch die Achsenabschnitte
a = xo und b = y0 (Achsenabschnittsform) ist 7.

Unter allen Geraden die durch den Punkt (x1,y1) = (1,1) laufen gibt es genau 1 Gerade, die diese Bedingung erfüllt.

Ich habe mal meinen Ansatz durchgespielt:

Bestimmungsgleichungen:

Bedingungen l = 7 m und y(x=1) = 1 m ist hier in der Gleichung
die Variable die so bestimmt werden muss, dass l = 7m ist.

y = mx + b => b = 1-m damit ist b bestimmt

nun wird x0 berechnet

y(x0) = 0 => x = -b/m damit ist x0 bestimmt.

Aus b und x0 lässt sich jetzt l berechnen:

l = √(x0²+b²)

Die Bestimmung geeigneter Startwerte für die Iteration:

Die Höhe, in der die Leiter an der Wand anliegt ist kleiner als
7m
Der Abschnitt auf der x-Achse ist größer als 1m

m = 7/1.2 ca. 5.8

Setzt man das als Startwert für eine Iteration ein, nähert man sich recht schnell ein Wert von 6.90162289514212m an dem die Leiter an der Wand anliegt. Die leiter berührt den Boden in einer Entfernung von 1.169444916723350m. Der Winkel unter dem die Leiter steht ist 80.3829°

Die Gleichung der Geraden lautet:

y = -5.90162289514212x + 6.90162289514212

So, jetzt bin ich mal gespannt auf die einfache Lösung des Fragestellers.

Answer 2

ist die kiste würfelförmig? Wenn ja:
verhältnis: wandlänge von der kiste bis zur leiter: x
rest unten an der wand : 1m
leiterlänge: 7
diagonale der kiste : quadrat: c²=a²+b².....c²= 1²+1²
c = wurzel aus 2
dann verhältnis aufstellen: 7: x +1 = wurzel aus 2 : 1
nun noch ausrechnen: außenglieder multiplizieren und innenglieder multiplizieren und dann gleichung nach x auflösen

Ich habe leider keinen TR zur hand, daher hab ich den wert 1,4 für die wurzel aus 2 genommen...dann wär mein ergebnis 6....ist aber nur ca..aber sowas in dem bereich muss rauskommen

Answer 3

@ mtwbase: ich gehe nicht davon aus. Die Kiste steht unter der Leiter und die Leiter berührt die Außenkante.

Mit Strahlensatz und Pythagoras ergibt sich daraus eine Gleichung 4.Grades:

x^4 - 14x^3 + 48x^2 + 2xsqrt(48x^2 -14x^3 + x^4) = 49

wobei x = (Abstand der Leiter von der Wand am Boden) - 1.

Ich wünsche viel Vergnügen.

Hat man x, dann ist h² = 7² - (x +1)²

Ich habs noch mal zeichnerisch "gelöst". Immerhin, bei aller Ungenauigkeit einer zeichnerischen Lösung: Ich bekomme etwas über 6, 90 m heraus.

Answer 4

Also, so wie ich die Frage verstehe, ist bisher nur die Antwort von Keule xxx richtig, nur nicht ausgerechnet. Gleich vorweg, es kommt 6,90 Meter raus.
Die Leiter steht nicht auf der Kiste, sondern auf dem Boden, liegt mit dem oberen Ende an der Wand und berührt irgendwo auf ihrer Länge die Kiste, die 1m mal 1m groß ist und direkt an der Wand steht.
Jetzt sagt man, dass die Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, x Meter über der Kiste ist, also (x+1) Meter über dem Boden. Der Punkt, auf dem die Leiter steht, ist y Meter von der Kiste weg, also (y+1) Meter von der Wand entfernt. Die Länge der Leiter ist 7 Meter. Mit Pythagoras erhält man dann die Gleichung:
(x+1)² + (y+1)² = 7²
Weil da aber zwei Unbekannte drinstecken braucht man noch eine zweite Gleichung. Dazu schaut man sich die Dreiecke an, die von Leiter, Wand und Kiste gebildet werden. Und mit dem Strahlensatz kommt man dann drauf, dass das Verhältnis der Höhe x über der Kiste zur Kistenbreite (1 Meter) gleich dem Verhältnis der Kistenhöhe (1 Meter) zum Abstand des "Leiterfusses" von der Kiste y sein muss, also
x/1 = 1/y oder y = 1/x
Setzt man das in den Pythagoras ein und multipliziert beide Seiten mit x², dann kommt man auf die Gleichung von Keule xxx, nur mit b=1:
x^4 + 2*x^3 - 47*x^2 + 2*x + 1 = 0
Zur Berechung habe ich Mathematica genommen, dann erhält man x= 5,90162 . Dann nicht vergessen, den einen Meter von der Kiste dazuzuzählen und man bekommt raus, dass die Leiter in 6,90162 Metern über dem Boden an der Wand anlehnt.
Hoffe, die Erklärung ist verständlich! ;-)

Answer 5

Es gelten zwei Gleichungen:
Nach dem Satz des Pythagoras ist c²=(b+x)²+(b+y)².
Wegen zweier ähnlicher Dreiecke x:b=b:y oder xy=b².
Isoliert man y und setzt y ein, so erhält man c²=(b+x)²+(b+b²/x)² oder x4+2bx³+(2b²-c²)x²+2b³x+b4=0.
Das ist eine Gleichung 4.Grades. :-)

Answer 6

erst das kleine dreieck unten(mithilfe Satz des Pythagoras):
1^2+1^2=2 Wurzel aus 2
(7-Wurzel2)^2-1^2
Dann nur noch ausrechenen und +1 rechnen!!!!

Answer 7

Ergibt ein Polynom 4. Ordnung
x^4 + 2*x^3 - 47*x^2 + 2*x + 1 = 0
- viel Spaß beim lösen.
(Geht nur numerisch, daher kann man das Ganze auch gleich auf mm-Papier malen und ausmessen)

Answer 8

Der Berührungspunkt liegt in 5,796m Höhe.
Die Angabe ist nicht ganz genau, da ich mit Verhältniswerten gerechnet habe.

Java's Lösung ist falsch, da der Berührungspunkt die Leiterlänge überschreitet.

Answer 9

In einer Höhe von 6,92820.. m berührt die Leiter die Wand.

Denn: a² + b² = c²

In diesem Fall:
1² + x² = 7²

=

1 + x² = 49

=

x² = 48

Wurzel aus 48 s. o.

Gruß

Ach ja:

Aussenkante der Kiste (also da, wo die Leiter sie berührt) ist 1 m von der Wand entfernt, da anzunehmen ist, dass die Kiste direkt (!) an der Wand steht, und bekanntlich eine Kantenlänge von 1m hat.

Answer 10

Ich gehe mal davon aus, dass mit der Kiste gesagt werden soll, dass die Leiter unten 1 m von der Wand weg steht.
So kann man das ganze einfach nach dem Satz des Pythagoras rechnen: a²+b²=c²
Wobei:
a = die Kiste, also 1 m, a² = 1
c = die Leiter, also 7m, c² = 49
b = die Wand ist, die es zu berechnen gilt
c²-a²=b²
49 - 1 = c²
c = Wurzel aus 48 = 6,9282032302755091741097853660235