elemento de un conjunto?

Question

algebra

Answer 1

Definición de conjunto
No existe una definición formal de lo que se entiende por conjunto. Se trata de un concepto primitivo. En teoría de conjuntos, se consideran tres conceptos primitivos: el de conjunto, el de elemento de un conjunto y el de pertenencia a un conjunto.

Intuitivamente, un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos abstractos, a cada uno de los cuáles se le denomina elemento del conjunto. Un elemento puede relacionarse con un conjunto de una forma bidireccional:

El elemento respecto del conjunto: cuando un elemento pertenece a un conjunto. Por ejemplo: el elemento gato pertenece al conjunto Animales
El conjunto respecto del elemento: cuando un conjunto alberga a un elemento. Por ejemplo: el conjunto Animales contiene al elemento gato, utilizándose la notación gato ∈ Animales.
El trasfondo subyacente de esto reside en la aplicación inherente a hallar un elemento dentro de (perteneciente a) un conjunto o no, y en la aplicación de un conjunto sobre el cual se ven afectados (referenciados) todos y cada uno de los elementos, que lo compone. A efectos prácticos y concretos toma su importancia directamente en la relación de existencialidad por igualación condicional, lo cual puede hacerse mediante las operaciones fundamentales lógicas o aritméticas.

El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas pues se encuentra, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y la terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos tales como el concepto de infinito.

El concepto y los principios del conjunto se utilizan especialmente para delimitar el alcance de una proposición, lo que fuerza al objeto de la proposición a quedar en cierta medida concretizado. Esto es deseable pues permite operar con la proposición formada, al principio como mínimo a nivel de cierto o falso y en un nivel máximo, de acuerdo a como corresponda la parametrización de las proposiciones establecidas

Un conjunto S está definido si, dado un objeto cualquiera a, se sabe con seguridad si pertenece o no al conjunto.

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La paradoja de Russell
Esta definición es problemática desde el punto de vista formal ya que, al definir un conjunto por una propiedad, se llega a la paradoja de Russell definiendo A:={x| x no pertenece a X} (se lee A está formado por todos los elementos x tales que x no pertenece a X).

Vemos que, si A pertenece a A, se debe cumplir que A no pertenezca a A; pero si A no pertenezca a A, se debe cumplir que A pertenece a A: una propiedad y su negación se deben cumplir al mismo tiempo. Esto llevó a considerar desarrollos axiomáticos como los de Zermelo-Fraenkel y von Neumann que evitan esta paradoja o contradicción de la teoría.

Supongamos que hay dos tipos de conjuntos: normales, los que no se contienen a sí mismo como elemento; y anormales, los que se contienen a sí mismos como elemento. Para existir, un conjunto A tendría que ser de uno solo de los dos tipos.

Pensemos ahora en el conjunto V cuyos elementos son todos los conjuntos normales: ¿el conjunto V es normal o anormal? Si V fuese normal se contendría a sí mismo como elemento, ya que V está formado por todos los conjuntos normales. Pero, al contenerse a sí mismo como elemento, sería anormal.

La contradicción es debida al hecho de suponer que la proposición "X es un conjunto y no es elemento de sí mismo" determina un conjunto. Se piensa entonces en dos tipos de colecciones:

Clases
Aquellas colecciones de objetos especificadas por una proposición.
Conjuntos
Aquellas clases que sean elementos de otra clase.
Hay una distinción entre conjuntos y clases, en donde las clases que no sean conjuntos no pueden ser elementos de otras clases. Aparece la teoría axiomática de conjuntos buscando dos fines: garantizar la existencia de un conjunto y asegurar las construcciones con conjuntos que den como resultado otros conjuntos.

A continuación se expone el desarrollo intuitivo, por ser el más natural para la mayoría de las personas.

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Notación
Por lo regular se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto dado. Si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir


(1)


para definir a tal conjunto . La notación empleada en (1) para definir al conjunto se llama notación por extensión.

Para representar que un elemento pertenece a un conjunto , escribimos (leáse en ). La negación de se escribe .


Si todos los elementos de un conjunto satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir


,


donde el símbolo se lee "tal que", y puede ser remplazado por una barra . Por ejemplo, el conjunto puede definirse por


.


El símbolo representa al conjunto de los números naturales.

Complemento de un conjunto
Dado un conjunto , se representa por al complemento de , el cual es un conjunto que verifica la proposición







para cualquiera que sea el elemento . Así pues, está formado por todos los elementos que no son del conjunto .

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Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento , se verifique







Subconjuntos y Superconjuntos
Un conjunto se dice subconjunto de otro , si todo elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique


,


sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla A = B. Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por .

Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues


,


y también


,


significando que es superconjunto propio de .

Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que es una relación de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues

para todo , y es reflexiva.
, y es antisimétrica
, y es transitiva
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Operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica.
Sean y dos conjuntos.

Unión
Los elementos que pertenecen a o a o a ambos y , forman otro conjunto, llamado unión de y , escrito . Así pues, se tiene




.



Intersección
Los elementos comunes entre y forman un conjunto denominado intersección de y , representado por :




.

Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dicen conjuntos disjuntos.


Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces:






Diferencia

Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por, :




.

Vemos que





,

de manera que




. Pero también




,

de modo que







Diferencia simétrica

Se define la diferencia simétrica de dos conjuntos por




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Álgebra de conjuntos
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera, entonces:

A ∩ A = A
A ∪ A = A
A - A = Ø
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
(B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
(B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
A ⊆ B ↔ A - B = Ø
A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
A ∩ Ø = Ø
A ∪ Ø = A
Ø - A = Ø
A - Ø = A
Sea U un conjunto tal que A, B, y C son subconjuntos de U (se utiliza la notación A' := U - A). Entonces:

A'' = A
B - A = A' ∩ B
(B - A)' = A ∪ B'
A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
A ∩ U = A
A ∪ U = U
U - A = A'
A - U = Ø
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Distributividad entre unión e intersección
Sean tres conjuntos A, B y C. Se cumple que:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, la cual es un caso particular del sistema algebraico conocido como Álgebra de Boole. ...

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Producto cartesiano de conjuntos
Un par de números se dice ordenado si los pares y son uno mismo si y solo si .

Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de y (en ese orden), representado por , como el conjunto





Ejemplo
Sean y . Así,





Ya que el producto cartesiano esta formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta





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Cuantificadores
Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son

El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe



. (1)

La proposición (1) suele usarse como la equivalente de







El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe



. (2)

La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición






Se definen






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Aplicaciones
Sean y dos conjuntos. Un subconjunto , se dice aplicación de en , lo que se representa por


siempre que se verifiquen







Si , el elemento se dice imagen de por , y el elemento se llama antecedente de por .

Sea una aplicación . Se emplea la notación para representar a la imagen de por , y por tanto .

Sean las aplicaciones y . Se define




,

y se dice que es el producto de composición de las aplicaciones y .

Vemos que

y



por lo que



Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos"

Answer 2

Cualquier cosa (entidad individual, que puede incluso ser un conjunto)que pertenezca al conjunto. Para cualquier conjunto A (x) (Si x pertenece a A entonces x es un elemento de A).

Answer 3

Sin tanta chachara te dire que se llama -elemento- de un
-conjunto- a un miembro ,objeto o cosa de cualquier naturaleza
que forme parte de un grupo de otros elementos vinculados por una relación cualquiera.
Ejemplos:
Tu eres un elemento de esta -sociedad- que seria el conjunto.(Relación? ser humano)
Un lapiz forma parte de un -conjunto- de ellos en una cartuchera,
a su vez todos los apices del mundo forman un conjunto mayor de lapices llamado -Conjunto Universal-.
Se entendio?....sin tanta chachara ?
Hay mucha mas informacion en los libros y mejor,Internet es solo para los apurones.
Saludos

Answer 4

Da do el conjunto U=( a,e,i,o,u,m.....) a es un elemento del conjunto

Answer 5

En matemática, un conjunto es una colección de objetos, tales que dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos objetos. Se puede obtener una descripción más detallada en la Teoría de conjuntos.

Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves { , y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:

{rojo, amarillo, azul}
{rojo, azul, amarillo, rojo}
{x: x es un color primario}

A es subconjunto de B
Unión de A con B
Intersección de A con BLas tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: Bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.

Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.

Answer 6

Elemento de un conjunto es aquel que pertenece a el, es decir se puede establecer la relación matemática de pertenencia.

También podemos decir que todo elemento de un conjunto es a la vez un subconjunto de el.