la preuve que toute matrice symetrique est diagonalisable?

Answer 1

toute matrice sym REELLE est diagonalisable...
faut juste montrer que le spectre est non vide, apres c'est triv par récurrence sur la dimension: si un endomorphisme auto-adjoint stabilise un sous espace vectoriel F, il stabilise le supplémentaire orthogonal de F.

Tu trouvera ca ds nimp quel cours de MP*, je m'en souviens plus ms c'est une astuce à base de formes quadratiques bien choise qui atteignent leurs bornes sur la boule unité (par continuité/compacité). Faut commencer par phi(x)=f(x).x (où f est autoadjoint)

bon dsl, ms ca fait longtemps la prépa ;-)
T'as qu'a regarder ds le Gourdon (la réf en MP*)

PS: lisez bien la "réponse" ci-dessus: "on sait qu'une telle matrice est diagonalisable, donc..." il doit lui vraiment manquer une case à celui-là ;-)

Answer 2

Il faut qu'est soit d'abord symetricable puis coupable par son milieu ensuite passer au four 25 min.th 5 et servir tiède.

Answer 3

Cela se fait par récurrence en passant par les formes quadratiques.
C'est vrai pour une matrice (1,1) et (2,2) et si on suppose que c'est vrai pour une matrice (n,n) on le démontre pour (n+1,n+1). C'est pas très compliqué.

Il faut démontrer que Somme(Aij*Xi*Xj) se met sous la forme d'une somme de carrés pondérés Somme(Bi*Yi^2).

Si tu veux des détails cloches moi..

Answer 4

Regarde dans n'importe quel livre de calcul matriciel, ou sur Internet

Answer 5

je dois avoir ça quelque part, mais j'ai pas envie de chercher

sinon fait une matrice symétrique et diagonalise -là (avec des inconnues évidemment)

genre (a b ; c d) , du diagonalise, t'aura un truc avec d-bc/a et voilà avec b=c pour une symétrique (ou -c ? je sais plus)

fais le pour une 3x3, tu verra que c'est le même genre d'expression, tu pourras en déduire une formule pour chaque élément (genre somme sur n ) ou les éléments symétriques vont s'éliminer ou se recomposer, et tu peux prouver que c'est le cas pour toutes valeurs de a, b,c etc. genre pour tout a1,a2,.. appartenant à R, etc.

Answer 6

Oh non pas de math s'te plait.

Answer 7

Vecteurs et valeurs propres d'une matrice symétrique réelle: Méthode de Jacobi

En fait On cherche à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice A symétrique réelle (AT=A). On sait qu'une telle matrice est diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe une matrice réelle Z telle que D=ZT*A*Z est diagonale, la diagonale étant composée des valeurs propres de A. Comme A est symétrique, Z est orthogonale, c'est-à-dire Z[-1] =ZT, et D=ZT*A*Z=Z[-1] *A*Z. La diagonalisation consiste donc à trouver la matrice Z, c'est-à-dire trouver une base dans laquelle la représentation de A est diagonale.

Z Matrice orthogonale telle que ZT=Z[-1]
Z[-1] (Matrice inversée de Z)
ZT (la transposée de Z)
AT (la transposée de A telle que AT=A)
D matrice diagonale telle que D=ZT*A*Z

N.B.
* Pour Lucas, je ne pense pas avoir raté qque chose !!!