Aufgabe: 5 * x + 3 ^ x = 19 .... Logarithmusregeln ....?

Question

Es geht um folgende Aufgabe:

5 * x + 3 ^ x = 19

Die Lösung ist 2, aber wie rechnet man das?

casjo1974 : nicht sehr hilfreich deine antwort

Answer 1

Die Lösung diese Gleichung ist meiner Ansicht nur nummerisch möglich, da x sowohl im Exponent als auch in der Basis in dem Polynom vorkommt.
Würde man die Gleichung Umformen und eine Logarithmierung durchführen

5*x+3^x = 19

3^x = 19 - 5*x

x*lg 3 = lg (19 - 5*x)

so kann nicht weiter auf x umgeformt werden.

Answer 2

Klassisch analytisch lässt nicht so etwas nur approximieren bzw durch ausprobieren lösen. Du kannst das zB mit der Zielwertsuche von Excel machen.

Answer 3

Ich denke, Paiwans Iterationsverfahren macht am meisten Sinn, wenn die Lösung berechnet werden soll (und nicht nur geraten)!

Wichtig ist dabei vielleicht, einen geeigneten Startwert zu finden, da Iterationsverfahren bei schlechten Startwerten auch in die Irre laufen können.

Einen Startwert - in diesem einfachen Fall auch unmittelbar die Lösung - kannst Du grafisch ermitteln.

Wenn Du die Gleichung 5x + 3^x = 19 umstellst:

3^x = 19-5x

dann kannst Du das als Gleichsetzung zweier Funktionen auffassen:

f(x) = 3^x
g(x) = 19-5x

Wenn Du beide Funktionen grafisch aufträgst, schneiden sich beide Funktionen in der Lösung (oder nahe bei, wenn die Zeichnung etwas unsauber ist)...

Um den zeichnerisch gefundenen Wert zu überprüfen und gegebenenfalls zu verfeinern, iterierst Du ihn, wie es Paiwan beschrieben hat...

Answer 4

Solche transzendenten Gleichungen lassen sich nicht immer direkt lösen. Die Lösungen werden meisten durch Iteration bestimmt. Nimm mal die folgende Umformung vor:

x^3=19-5x

x * ln3 = ln(19-5x)

x= ln(19-5x)/ln3

nun setze als Startwert mal 1.9 für x in den rechten Teil der Gleichung ein. Als Ergebnis bekommst du dann einen neuen x-Wert etwa 2.049. Nimm diesen Wert´wieder als neuen Wert für die rechte Seite der Gleichung: Das Ergebnis ist etwa 1.974. Wenn du so weitermachst, wirst du sehen, dass sich das Ergebnis alternierend immer mehr 2 annähert.

Eigentlich ist so etwas immer eine kleine Programmieraufgabe mit einem Abbruchkriterium wenn die gewünschte Genauigkeit der Lösung erreicht ist Bei dieser Gleichung bist du nach 24 Iterationsschritten am Ziel.

Ich häng noch mal das Beispiel für Excel an:

Zelle A1: 1.9 (Startwert)
Zelle B2: =ln(19-5*A1)/ln(3)
Zelle A2: =B2

Ziehe dann die Zellen A2 und B2 nach unten, ab Reihe 26 tut sich nichts mehr. Es spielt übrigens keine Rolle, ob du den dekadischen oder den natürlichen Logarithmus benutzt.

Also das Vorgehen von Egima, den Startwert zu bestimmen ist so einfach genial. Dass bei bestimmten Funktionen (Polynomen z. Bsp.) bei einem ungünstig gewählten Startwert die Iteration wegläuft (nicht konvergiert) stimmt aber hier sind beide Funktionen konvergent, als führt jeder Startwert innerhalb der für die beiden Funktionen gültigen Definitionsmengen zum Ziel.

Die Aussage von mixl ist widersprüchlich. Entweder du arbeitest klassisch analytisch oder du approximierst, wobei beide Verfahren nicht zu einem Ergebnis führen. Diese transzendente Gleichung lässt sich nicht klassisch analytisch lösen. Und eine Approximation ist ein numerische Verfahren um aus einer Funktionenklasse bei Vorliegen einer Funktion in diskreter Form die Funktion bzw. die Parameter der gewählten Funktion so zu bestimmen, dass die Summe der kleinsten Fehlerquadrate (Abständen von den diskreten Punkten zur Funktion) minimal ist.

Answer 5

Die Logarithmusregeln ziehen da nicht, weil du einen Ausdruck
log (19-5x) = 3^x nicht einfach lösen kannst. mit gängigen Methoden hilft nur: Probieren!

Answer 6

das rechnet man nicht, das sieht man... ;-)
zur rechnerischen lösung s.o.

Answer 7

Zwar bin ich schon ur-lange aus der Schule raus... aber ich weiss wo man die Lösung findet!

Viel Spass dabei