Sauriez-vous démontrer que racine de 2 est irrationnel ?

Question

J'ai oublié la démonstration.

NB : Irrationnel signifie qu'on ne peut pas le mettre sous la forme p/q avec p et q entiers relatifs

Answer 1

Premièrement, on doit noter que l'irrationalité de la racine de 2 a marqué un grand désarroi au sein de la communauté pythagoricienne qui voulait que le monde soit réductible !!! Ce problème venait de la longueur de l'hypothénuse d'un triangle rectangle dont chaque coté (adjacent et opposé) égal à 1. Selon le théorème de Pythagore, la valeur de cette longueur est égale à racine(2).

On suppose que racine de 2 est rationnel et on démontrera par l'absurde que cette hypothèse est fausse ! donc racine de 2 est un nombre irrationnel.
Hypothèse:
racine (2) rationnel veut dire qu'elle s'écrit sous la forme p/q où p et q sont des entiers de Z.
Donc, 2 = carré(p) / carré(q)

Notons que jamais p et q peuvent être pairs en même temps. Sinon, ils seront réductibles.

carré(p) = 2 carré(q) (1)
Si p impair donc son carré est forcément impair ce qui contredit la formule (1) puisque 2 x carré(q) est pair !!!
Si p pair (q doit être impair donc son carré impair (2)), on peut l'écrire 2 p' donc, carré(p) = 4 carré(p')= 2 carré(q) d'où 2 carré(p') = carré(q) donne que carré(q) est pair ce qui contredit (2)

L'hypothèse est donc à rejeter !!! racine(2) ne pouvant s'écrire sous la forme rationnelle p/q est dont IRRATIONNEL.

Answer 2

Désolé pour le copier coller qui transformpe les racines carrés en o à tréma :
Raisonnons par l'absurde et supposons:
Ö 2 rationnel

Étant rationnel:
Ö 2 = P/Q

On réduit la fraction au maximum
Ö 2 = M/N

M et N n'ont pas de diviseurs en commun
M et N premiers entre eux

Élevons au carré:
2 = M² /N²

Ou:
M² = 2 N²

On déduit:
M² est pair

Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité
M est pair et M = 2K

On revient à l'expression au carré:
M² = 4 K² = 2 N²

Ou
N² = 2 K²

Même raisonnement avec N:
N est pair et N = 2 J

Alors M et N ont un facteur commun
2 est facteur commun à M et N

La contradiction montre que l'hypothèse est:
Fausse au départ

Et que:
Ö 2 est irrationnel

Answer 3

racine(N) est rationnel ssi N est un carré:

1/ condition suffisante triviale.

2/ condition néessaire:
soit N un entier naturel tel que racine(N)=p/q rationnel avec pgcd(p,q)=1. Alors q^2N=p^2: q divise p^2 dc p (th de Gauss). Or q divise q, dc q divise pgcd(p,q)=1: bref q = 1 et N=p^2

Voila, arrêtez d'en tartiner des pages pour prouver que racine(2) est irrationnel, c'est élémentaire.

Answer 4

Raisonnons par l'absurde et supposons: racine de 2 rationnel

Étant rationnel: racine de 2 = P/Q

On réduit la fraction au maximum racine de 2 = M/N

M et N n'ont pas de diviseurs en commun M et N premiers entre eux

Élevons au carré: 2 = M² /N²

Ou: M² = 2 N²

On déduit: M² est pair

Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité M est pair et M = 2K

On revient à l'expression au carré: M² = 4 K² = 2 N²

Ou N² = 2 K²

Même raisonnement avec N: N est pair et N = 2 J

Alors M et N ont un facteur commun 2 est facteur commun à M et N

La contradiction montre que l'hypothèse est: Fausse au départ

Et que: racine de 2 est irrationnel

Answer 5

c ta question qui est irrationelle

Answer 6

On l'a déjà démontrée

Answer 7

Je trouve les démonstrations beaucoup trop compliquées! Si deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux alors a² et b² aussi (car les facteurs premiers de la décomposition de a sont les mêmes que ceux de a² idem pour b et b².Donc si racine de deux=a/b avec a/b irréductible,alors 2=a²/b² avec a²/b² irréductible donc a²=2 et b²=1.Or a²=1 est impossible avec a entier (1²=1;2²=4)

Answer 8

Par l'absurde, tu supposes qu'il est rationnel donc rapport de deux entiers. Ces entiers ne sont pas tous les 2 pairs sinon on peut simplifier la fraction.
racine(2)=p/q
=> p²=2q²

p² est le double de q² donc p est pair => p=2r avec r entier
4r²=2q² => 2r²=q² q² est le double de r donc q est pair

Contradiction avec l'hypothèse de départ.

racin(2) est irrationnel.

Answer 9

Démonstration géométrique — On suppose √2 = p/q avec p et q entiers.

On construit un triangle AOB rectangle isocèle en O de côté OA = OB = p, son hypoténuse est ainsi AB = OA√2 = q.

On construit un cercle de centre A et de rayon AO ; il intersecte l'hypoténuse [AB] en B'. On construit un cercle de centre A et de rayon AB, il intersecte [AO) en C. On pose A' = B. On obtient :

A'B' = AB − AO = q − p
CO = AC − AO = AB − AO = q − p
les points A, O et C jouent un rôle symétrique par rapport à A, B', A', de sorte que (AO') est un axe de symétrie ;
∠A'B'O' est droit, ∠O'A'B' = ∠ABO = 45°, donc A'B'O' est isocèle rectangle
B'O' = A'B' = q − p
Par symétrie, OO' = q − p
A'O' = OB − OO' = p − (q − p) = 2p − q
Le triangle A'B'O' est rectangle isocèle en B' de côté q − p et d'hypoténuse 2p − q, tous les deux entiers.

En continuant ainsi de suite, on obtient une descente infinie de triangles à côtés entiers AOB, A'O'B', etc. ce qui est absurde.

Donc ne peut pas s'écrire p/q avec p et q entiers.

Note : une autre version de la preuve ne nécessite pas l'argument de la descente infinie. On prend comme hypothèse la fraction irréductible p/q ; le triangle A'O'B' donne (2p − q)/(q − p) de plus petits numérateurs et dénominateurs, ce qui est également absurde.

Démonstration arithmétique — On suppose √2 = p/q avec p et q entiers.

Dans ce cas on peut écrire √2 sous forme de fraction irréductible, c'est-à-dire que p et q n'ont pas de facteur premier commun. Il en va donc de même que p² et q², ce qui signifie que p²/q² est une fraction sous sa forme irréductible. Or p²/q² = 2, donc p² = 2 et q² = 1. La première égalité est absurde, car p est un entier.

Donc √2 ne peut pas s'écrire p/q avec p et q entiers.

très intéressant
http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e_de_deux

Answer 10

Soit n appartient à N

1°) (2n est pair)=>(2n² est pair)

On suppose que n est pair n=2*k avec k appartient à N

donc n²=4.k²
=2*(2k²)
=2*k'

donc n² est pair


2°) (n² est pair)=>(n est pair)

On suppose n² est paire n²=2*k avec K appartient à Z

(n² est pair)=>(n est pair) equivaut à non(n est pair)=>non(n² est pair)

Supposons n impair et montrons que n² est alors impair
On suppose n=2*k+1 avec k appartient à Z

n²=(2*k+1)²
=4k²+4k+1
=2*(2k²+2k)+1
=2*k'+1 qui est donc impair

Donc (n² est pair)=>(n est pair) est vrai

Donc n² est pair si et seulement si n est pair


ou sinon il y a une autre demo qui dit que :
démonstration racine de 2 est n iirationnel.

Supp. racine(2) =p/q, p et q étrangers dans Z.
=> p² = 2q² => p² pair => p pair (ton résultat)
=> p = 2n => q² = 2n² => q pair (idem)
=> p et q pas étrangers. Contradiction.


voila c'est tout