Gibt es eine dritte Wurzel aus -8 ?

Question

Einerseits wird gesagt, dass negative Radikanden nicht erlaubt sind, weil dies zu einem Widerspruch bei der exponentiellen Schreibweise führen kann - andererseits rechnet man fleißig damit rum, wenn man Nullstellen bei kubischen Funktionen bestimmt.
Ist also die 3.Wurzel aus -8 = - 2 oder nicht?

Danke vorläufig für die vielen Antworten. Daraus stellt sich mir die zweite zentrale frage: Ist das Radizieren denn wirklich die komplette Umkehroperation des Potenzierens?

Answer 1

Vorweg, das Radizieren ist die Umkehrfunktion des Potenzierens.

Und wie einige Vorgänger schon geschrieben habe: Es ist erstaunlich, wie viel Unsinn von der Mathematik haften geblieben ist.

Im Bereich der natürlichen Zahlen gibt es für die n-te Wurzel aus einer ungeraden Zahl kein Ergebnis, es ist nicht definiert. Wird der Zahlenraum auf reelle und komplexe Zahlen erweitert, ist dieses Problem nicht mehr existent, Wurzeln von negativen Zahlen sind im Raum der komplexen Zahlen anzusiedeln.

Ein einfaches Beispiel findet sich bei den Lösungen von quadratischen Gleichungen, die ja wohl jedem, der nur etwas mit Mathe zu tun hat, bekannt sein dürften. in der Lösungsformel gibt es für die Diskriminante 3 Fallunterscheidungen:

-p/2 ±√((p/2)²-q)

wobei der Term (p/2)²-q die Diskriminante darstellt

Der erste Lösungsfall ergibt zwei verschieden reelle Lösungen, die Parabel schneidet die x-Achse an unterschiedlichen Punkten (D>9), der Zweite Lösungsfall tritt ein, wenn die x-Achse Tangente des Scheitelpunktes der Parabel ist (D=0), die Lösung ist doppelt reell. der dritte Fall wird bezeichnet als konjugiert komplexe Lösung und tritt ein, wenn die Parabel keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat (D<0), die Lösung besteht aus dem Realteil -p/2 und dem imaginären Anteil i√D.

Komplexe Mathematik spielt in der Elektrotechnik eine große Rolle aber auch bei der Lösung von Differentialgleichungen.

Answer 2

Wenn Du eine Potenz x^y über Logarithmus und exponentialfunktion definierst, dann ist
x^y = exp(ln(x)*y).
x darf dann nicht null oder negativ sein.
im Umkehrschluss definierst Du die Wurzel allgemein mit
yte Wurzel aus x := exp(ln(x)/y)
Dann muss x positiv sein und y <> 0.

Somit ist im allgemeinen eine Wurzel einer negativen Zahl nicht definiert.

Bei konstanten ungeraden Exponenten gibt es jedoch reelle Lösungen der Gleichung x = a^b mit x<0; b ε {1,3,5,...}

unter anderem eben -8 = (-2)³.


Es gibt noch ein anderes hübsches Beispiel:
x^4 = 16. Was kommt da raus? Zwei, werden jetzt alle schreien.
Aber es kommt auch noch -2 und 2i und -2i heraus. Es ist eben ein Unterschied, ob Du 4te Wurzel aus 16 oder die Lösung von x^4=16 ausrechnest. Das Wurzelziehen wirft Ergebnisse weg.

Answer 3

Schuermi2000 hat vollkommen Recht!

was sich jhstha gedacht hat: k. A.

Answer 4

minus 2 hoch 3 gleich 8

Answer 5

nein 3!
Jedoch liegt nur eine Lösung davon im Bereich der Reellen Zahlen, die anderen beiden Ergebnisse kommen aus dem Bereich der Komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen sind definiert durch einen Realanteil (Reelle Zahl) und einen imaginären Teil (j oder auch i, ind der Technik meist mit j abgekürzt da i ja schon für wechselstrom verwendet wird...)
j = sqrt (-1) (Also j ist die Wurzel aus (-1), demzufolge ist j^2 = (-1), j^3= (-1)*j= -j und j^4= (-1)* (-1) =1...

Radizieren ist genauso wie Logarithmieren eine "Umkehrfunktion" / Korrelationsfunktion zum Potenzieren

Answer 6

Die dritte Wurzel aus -8 ist eine Lösung der Gleichung
x^3 = -8
Diese Gleichung hat in der Menge der reellen Zahlen die Lösung x = -2.
Darüberhinaus gibt es in der Menge der komplexen Zahlen zwei weitere Lösungen:
1 +- i*Sqrt(3)
Der Rest, also ob man mit negativen Zahlen unter der Wurzel oder als Ergebnis einverstanden ist, ist Definitionssache.

Answer 7

Natürlich gibt es die, und das Ergebnis ist -2.

Aus negativen Werten können lediglich keine geradzahligen Wurzeln gezogen werden, da jeder Wert hoch einer geraden Zahl immer einen positiven Wert ergibt. So etwas wie die vierte Wurzel aus -16 geht also nicht.

Aber sobald man einen negativen Wert hoch einer ungeraden Zahl nimmt, kommt immer auch ein negativer Wert heraus. Daher kannst Du auch immer das Ergebnis einer ungeradzahligen Wurzel (wie die dritte Wurzel aus -8) berechnen.

Answer 8

Hallo,

selbstverständlich ist -2 die dritte Wurzel aus -8. Die richtige Schreibweise ist (-2)³, d.h. wenn man die Zahl in Klammern setzt gibt es kein Missvertändnis. Das potentielle Missverständnis bei der Schreibweise kann auf jeden Fall nicht den mathematischen Sachverhalt beeinflussen.

Viele Grüsse

Alexander

Answer 9

Natürlich ist (-2)³=-8 und deshalb die dritte Wurzel aus -8 auch gleich -2. Negative Terme sind nur unter der Quadratwurzel (und allen weiteren geraden Wurzeln) nicht erlaubt, weil bei x hoch 2n niemals eine negative Zahl als Ergebnis herauskommen kann.

Answer 10

(-2)³ = -8

Allerdings gibt es keine Wurzeln aus negativen Zahlen, sodass die Lösung nicht in die Definitionsmenge fällt und somit keine ist. Mathematische Spitzfindigkeiten. Die mathematisch korrekte Antwort wäre: Nein, gibt es nicht.