Dans un repère orthonormé, est-ce que toute courbe peut être représentée par une équation ?

Question

Une équation avec des x, des y, des chiffres, mais rien d'autre.

Rien d'autres ... ça veut dire donc sans fonctions toutes faites telles que ln() et cos() par exemple.

Answer 1

ben non, la réponse est dans la question, la courbe de ln (par exemple) peut approchée par des polynômes d'accord, mais seulement approchée.

Answer 2

moi je pense que non, car on peut prendre par exemple:
f(1)=2 ; f(1.22)= 6 ; f(3.987)= e ; .........
mais sans jamais trouver une equation qui verifie tous ces points.
on peut, cependant, trouver une approximation de la fonction, c'est à dire une equation qui verifie le plus grand nombre des points de la courbe; et c'est le role de l'analyse numerique.

Answer 3

non , toute fonction sinusoidale s'ecrit en fonction de cos de sin ou de tan

Answer 4

Non, sans fonction comme tu dis "toutes faites", le fonctions transcendantes comme f(x) = e^x ne peuvent pas être parfaitement représentées.

Answer 5

avec un ordre suffisamment élevé, et en découpant ta courbe en petites portions, je pense que oui ... toute approximation est possible.

par exemple sur le segment [0 1[, tu auras f(x) =~ g(x) = 0.2 + 0.43x + ... + 1,1 x^14 + ... + ...

à partir d'un moment l'erreur (l'écart) entre la courbe f(x) et son approximée g(x) sera négligeable.

maintenant, tu peux aussi voir sur un cour de traitement du signal :

- décomposition en série de Fourier
- approximation par des fonction orthogonales

ou sur un cours de math :

- interpolation cubique/quadratique ...
- méthode d'approximation par collocation (Interpolation)
- schéma de Horner
- approximation par les moindres carrés (lissage de courbes)
- optimisation par la méthode de Newton-Raphson
- Méthode de Lagrange (Méthode de la sécante)
- approximation par ondelettes (haar, debauchies ...)
- ...

bonne recherche ... j'ai un peu la flemme de recopier mon cours de traitement du signal ... désolé, mais c'est assez long et sans éditeur d'équation, c'est imbuvable

Answer 6

oui c'est possible, mais sous certaines conditions. C'est une des conséquences du théorèmes des fonctions implicites.

Answer 7

Bonjour
Je me souviens d'un theoreme a l'epoque ou j'etais bon en math je crois que c'est le theoreme de weistrass ou un truc comme ca qui dit que toute fonction continue peut etre decomposée en une somme(infinie?!) de polynomes.
Pour preciser la fonction peut etre approchée aussi proche que l'on veut. POur l'exemple de la fonction ln on peut ainsi penser au developement limité

Answer 8

ta question est trop imprécise pour pouvoir y répondre. qu'appelles-tu courbe (du plan R^2 je présume) ? Le peigne de Dirac est-il une courbe ? A mon avis, une courbe est un arc paramétré de classe C^0 au moins...

Answer 9

Non,
comment veux tu représenter le ln sans la fonction logarithme ?

Answer 10

avec des x, des y et des nombres (pas des chiffres SVP), on peut seulement faire des équations du type ax+by+c=0, ce qui donne une droite du plan. C'est tout. De toute manière, il faudrait savoir ce que tu appelles "courbe". Il existe une fonction continue de R dans R^2 dont l'image remplit tout l'intérieur d'un carré (courbe de Peano). Alors la notion de courbe en math est pour le moins délicate.