Par exemple, si f\, est définie sur \mathbb{R}\, par
pour tout réel x\,, f(x) = 6x\,
alors la fonction F\, définie sur \mathbb{R}\, par
pour tout réel x\,, F(x) = 3x^2\,
admet pour dérivée f\,, et donc F\, est une primitive de f\, sur \mathbb{R}\,.
Un autre exemple, si f\, est définie par
pour tout réel x\,, f(x) = 3x^2 + 2x + 1\,,
alors la fonction F\, définie par :
pour tout réel x\,, F(x) = x^3 + x^2 + x + 1\,
est une primitive de f\, sur \mathbb{R}\,.
Remarque :
Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\,.
Si F\, est une primitive de f\, sur I\,, alors pour toute constante k\,, la fonction G\, définie par
pour tout réel x\,, G(x) = F(x) + k\,
est aussi une primitive de f\, sur I\, car la dérivée d'une application constante est la fonction nulle.
Nous en déduisons que si f\, admet une primitive sur I\, alors elle en admet une infinité.
Proposition :
Deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante.
En effet soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\,, F\, et G\, deux primitives de f\,.
Nous avons F' = G' = f\, donc (F - G)' = 0\,.
I\, étant un intervalle, nous en déduisons qu’il existe C\, une application constante définie sur I\, telle que F - G = C\, soit F = G + C\,
Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle
Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\,.
Si f\, admet une primitive F\, sur I\,, alors l'ensemble des primitives de f\, sur I\, est l'ensemble des fonctions G\, de la forme :
G : I \rightarrow \mathbb{R}\,
x \mapsto F(x) + k\,
où k\, est une constante réelle.
2006-08-31 23:02:52
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answer #5
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answered by scrunch 7
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