"Petite découverte" cherche idées, ouvertures de recherche...?

Question

J'ai trouvé 5 équations donnant tous les nombres non premiers, les variables sont bien sûr des entiers positifs. Question : Après avoir vérifié mes assertions, avez-vous une idée d'ouverture qui permettrait par exemple de prouver très rapidement qu'un nombre est premier en vérifiant qu'il n'est pas solution d'au moins d'une de ces équations ? D'autres idées ?

Ces équations sont :
A= 2Q ( les multiples de 2 )
B= 3R ( les multiples de 3 )
… les quatres équations suivantes (deux donnent les mêmes nombres, reste trois) proviennent de 6 n (+ ou – 1) facteur de 6 p (+ ou – 1), donnant tous les autres nombres impairs non premiers, non divisible par 3. Donc :
C=36ST+6(S+T)+1
D=36UV-6(U+V)+1
E=36WX+6(W-X)-1

Tout nombre entier qui n'est pas solution d'une au moins de ces cinq équations est un nombre premier !!!

Le mieux serait de donner des exemples de nombres entiers non premiers qui ne se retrouveraient pas dans ces 5 "équations" égalités. Si vous en trouvez :-)
P.S. Vérifiez bien je vous prie. merci.

oui, je sais que c'est surprenant, mais vérifiez bien, donnez des contre-exemples si vous pouvez, ne réagissez pas d'abord avec votre affectif mais votre logique je vous prie. Ca peut parraître un peu fastidieux mais ça en vaut le coup je pense. merci.

Answer 1

Tout d'abord (avec des entiers positifs) chaque fois que l'une des égalités est vérifiée le membre de gauche n'est pas premier.C'est évident pour les deux premières et pour les trois autres c'est parce que leur membre de droite peut s'écrire
(6S+1)(6T+1);(6U-1)(6V-1) et (6W+1)(6X-1).Aucun des facteurs ne pouvant être 1 car ils valent au moins 5.
Considérons maintenant un nombre entier non premier et n'étant ni pair ni multiple de 3.Alors le nombre qui le précède et celui qui lui succède sont pairs et l'un des deux est multiple de 3 car dans 3 nombres consécutifs il y a toujours un multiple de 3.Donc un des deux nombres (prédécesseur ou successeur) est multiple de 6 .Le nombre est donc multiple de 6 plus 1 ou moins 1.
Ce nombre n'étant pas premier est produit de deux nombres entiers N1 et N2,différents de 1 et qui eux aussi ne sont ni pairs ni multiples de 3 (si un de ces nombres était pair(resp multiple de 3),le produit le serait).N1 et N2 sont donc eux aussi mutiples de 6 plus 1 ou multiples de 6 moins 1.
S'ils sont tous les deux multiples de 6 plus 1 alors
N1=6S+1 et N2=6T+1 avec S et T entiers donc le nombre vérifie l'égalité A= (6S+1)(6T+1) qui est ta 5ème égalité.
S'ils sont tous les deux multiples de 6 moins un alors
N1=U-1 et N2=6V-1 donc B=(6U-1)(6V-1) (4ème égalité)
S'il y a un multiple de 6 plus 1 et un multiple de 6 moins 1 alors en appelant N1 le multiple de 6 plus 1 (si ce n'est pas le cas on permute les noms) N1= 6W+1 et N2=6X-1 et on obtient ta dernière égalité.
En fin de compte tout nombre non premier vérifie bien une des cinq égalités.Donc un nombre ne vérifiant aucune des égalités est premier.

Answer 2

si tu crois que tu vas trouver une infinité de nombres avec 5 equations .... c'est un peu présemptueux mais c'est bien d' essayer, la prochaine pousse ta réflexion un peu plus loin. Essaye les lois des séries et part des défitions des nombres premiers, au lieu des chercher un contre exemple ...

Answer 3

Complètement faux : En quelques instants, on trouve des nombres premiers qui ne vérifient aucune de ces 5 égalités (pas équations !!!). Au lieu de "faire le malin", étudie un minimum les mathématiques. Désolé !