Brauche Hilfe bei meiner Mathehausaufgabe!?

Question

Gegeben ist die Fkt. f(x)=2 hoch x (geht nich besser zu schreiben)
Zeige:f(x) mal f(-x)=1 für alle xelementD
Zeige:f(x+1)=2 mal f(x) für alle xelementD
Wäre gut, wenn der Weg auch mit aufgeschrieben wird!
Schon mal jetzt Danke!

Answer 1

also...

gegeben ist: f(x) = 2 hoch x

zu zeigen: f(x) * f(-x) = 1 für alle x Element D
ich darf vermuten, daß D nicht nur N sondern auch R oder C sein kann? Bliebe die Frage, was man verwenden darf...

nach Definition ist a hoch -x gleich 1 / [a hoch x]

damit ist f(x)*f(-x) = [2 hoch x] * [2 hoch -x]
= [2 hoch x] / [2 hoch x] = 1

gilt für alle x aus D, auch insbesondere für x=0, da [a hoch 0] = 1

anderer Ansatz, wenn man den natürlichen Logarithmus verwenden darf:

f(x) * f(-x) = [2 hoch x] * [2 hoch -x]
= e hoch ln{[2 hoch x] * [2 hoch -x]} ----------mit ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
= e hoch {ln[2 hoch x] + ln[2 hoch -x]} --------- mit ln(a hoch x) = x* ln(a)
= e hoch {x * ln2 - x*ln2}
= e hoch 0
= 1
q.e.d.

-----

zu zeigen: f(x+1) = 2 * f(x)

f(x+1) = 2 hoch (x + 1) --------- mit a hoch (x+y) = [a hoch x] * [a hoch y]
= [2 hoch x] * [2 hoch 1]
= f(x) * 2

oder wieder mit dem Natürlichen Logarithmus...

f(x+1) = 2 hoch (x+1)
= e hoch ln(2 hoch (x+1)) --------- mit ln(a hoch y) = y * ln a
= e hoch { (x+1) * ln2}
= e hoch { (x * ln 2) + ln2} --------- mit e hoch (a+b) = [e hoch a] * [e hoch b]
= [e hoch (x * ln2) ] * [e hoch ln 2] --------- mit ln(a hoch y) = y * ln a
= [e hoch ln( 2 hoch x)] * 2
= [ 2 hoch x] * 2
= f(x) * 2
q.e.d.

Sollten Dinge wie e-Funktion und Natürlicher Logarithmus nicht erlaubt sein, müßtest Du das noch erwähnen... Dann müßte man kucken, was noch geht ;-)

Answer 2

f(x) × f(-x) = 2^x × 2^-x = 2^(x-x) = 2^0 = 1 q.e.d.

f(x+1) = 2 × f(x)
2^(x+1) = 2 × 2^x
2^(x+1) = 2^1 × 2^x
2^(x+1) = 2^(1 + x) | logarithmieren
x+1 = 1 + x
1 = 1 q.e.d.

Answer 3

f(x)=2^x

f(x) * f(-x) = 1

2^x * 2^(-x) = 1 --- a^(-n) = 1/a^n

2^x * (1/ 2^x) = 1 --- * 2^x

2^x = 2^x w.z.b.w. (oder q.e.d.)

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f(x+1) = 2 * f(x)

2^(x+1) = 2 * 2^x --- a^(n+m) = a^n * a^m

2^1 * 2^x = 2 * 2^x --- 2^1 = 2

2 * 2^x = 2 * 2^x

w.z.b.w. (oder q.e.d.)

Answer 4

sorry, mathe war nie meine stärke

Answer 5

Da hilft nur lernen...