Soient deux nombres compris entre 2 et 99.
On communique à Pierre le produit de ces deux nombres. On communique à Stéphane la somme de ces deux nombres.
S'en suit le dialogue suivant :
P : Je ne connais pas ces deux nombres.
S : Je sais. Moi non plus je ne les connais pas.
P : Maintenant je les connais.
S : Maintenant moi aussi je les connais.
Quels sont les deux nombres en question ?
2006-08-25 20:59:49 · 10 réponses · demandé par Anonymous dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Les nombres sont bien compris entre 2 et 99 mais ce n'est qu'une limitation on aurait pu dire entre 1 et l'infini. Les nombres peuvent bien sur être égaux.
2006-08-26 07:49:14 · update #1
La solution est bien sûr unique sinon ils ne pourraient conclure.
On cherche (Niveau seconde je crois)
2006-08-26 07:51:38 · update #2
bonjour
si on appelle S la somme et P le produit, d'après mes souvenirs, il suffit de résoudre l'équation x^2-Sx+P=0.
@+
2006-08-27 01:18:14 · answer #1 · answered by bob 1 · 1⤊ 2⤋
Pierre et stephane ne pouvait pas les connaitre avant de se rencontrer aprés sachant que l'un était un produit et l'autre une addition celà ne pouvait être que 2 et 2 .
si on a indiqué 4 endisant que c'était un produit et 4 en disant que c'était une somme, les deux nombres sont bien 2 et 2
2006-08-25 21:06:12 · answer #2 · answered by nicephil06 4 · 1⤊ 1⤋
2 et 99
2006-08-27 00:59:40 · answer #3 · answered by sunny 3 · 0⤊ 1⤋
Une solution qui marche est 4 et 13. donc P=52 et S=17
Démonstration :
Pierre : ne sait pas: en effet 52=P(2,26) ou P(4,13).
Donc pour Pierre il y a 2 sommes possibles S(2,26)=28 et S(4,13)=17.
Steph dit qu'il savait que Pierre ne savait pas, donc S ne peut pas être décomposé en une somme de nombres premiers.
Si S=28 alors on aurait pu avoir a=11 et b=17 P=11*17 : et Pierre aurait su.
Donc Pierre en déduit que S<>28 donc S=17 et donc que la solution est (4,13).
Jusqu'à là, c'est simple, mais on peut arriver au même résultat avec a=2 et b=9 où P=18 et S=11 (par exemple) ...
Prenons maintenant en compte le fait que Stéph sait une fois que Pierre sait.
Avec S=17, il y a de nombreuses possibilités, pour chacune d'elle, Stéphane va regarder les produits et leurs décompisition possible :
P(2,15)=30=P(2,15)=P(3,10)=P(5,6)
Il y 3 possibilités correspondant aux sommes 17,13 et 11. Or 11 et 17 sont des nombres ne pouvant se décomposer en sommes de nombres premiers, donc Pierre n'aurait pas pu conclure.
P(3,14)=42=P(2,21)=P(3,14)=P(6,7)
Il y 3 possibilités correspondant aux sommes 23,17 et 11. Or 11 et 17 (et 23) sont des nombres ne pouvant se décomposer en sommes de nombres premiers, donc Pierre n'aurait pas pu conclure.
P(4,13)=52=P(2,26)=P(4,13)
Il y 2 possibilités correspondant aux sommes 28 et 17 . Or 11 et 17 est le seul pouvant se décomposer en sommes de nombres premiers, donc Pierre aurait pu conclure.
On continue P(5,12), P(6,11) P(7,10) et P(8,9), pour lesquelles on montre que Pierre n'aurait pas pu conclure.
Donc Stephane en déduit que P=52 est la solution.
Ouf....
Il resterait à démontrer qu'il n'y a pas d'autres solutions...
2006-08-25 23:59:16 · answer #4 · answered by dylasse 3 · 0⤊ 1⤋
Je pense qu'il y a une erreur d'énoncé:les nombres sont entiers différents compris entre 2 et 9.Dans ce cas en examinant la table de multiplication on voit que les seules valeurs du produit pour lesquellesP ne peut pas conclure sont 12;18 et 24.Il n'y a donc que 6 cas possibles{2;6},{3;4},{3;6},{2,9};{2;8};{3;8} et {4;6}.S peut faire ce raisonnement et il n'y a qu'un cas où il ne peut pas conclure c'est quant la somme est 11.Pierre peut faire ce raisonnement et comme il connaît le produit il peut conclure que les nombres sont 2 et 9 (produit 18) ou 3 et 8 (produit 24)
2006-08-25 23:19:01 · answer #5 · answered by fouchtra48 7 · 0⤊ 1⤋
Pierre a connu les des nombre en lui communiquant seulement leur produit. Donc ces deux nombre sont premiers.
Stéphane lui aussi a connu les deux nombres en lui communiquant leur sommes. Donc cette somme est décomposée d'une manière unique.
Cette somme ne peut pas être 3 parce que ces deux nombre sont compris entre 2 et de même ce n'est pas 4. Cette somme est 5 . En effet 2 et trois sont premier.
Si on communique à Pierre le nombre 6. Il déduit facilement que les deux nombres sont 2 et 3 parce que la solution 6=6*1 est exclue.
De même Stéphane peut les connaître en lui communiquant 5
parce que les solution (5,0) et (4,1) sont exclue.
pour les autre possibilité Stéphane ne peut pas connaître les nombre parce que les nombres supérieures à 6 se décompose de plusieurs manières.
Ce couple de nombres n'est alors que (2,3)
2006-08-26 00:41:03 · answer #6 · answered by Mkhallis 3 · 0⤊ 2⤋
et bien 2 et 2 evidemment 2*2 et 2+2
2006-08-25 21:13:24 · answer #7 · answered by merci Sarko !!!!! 4 · 0⤊ 2⤋
seuls 2fois2 et 2+2 ont le meme resultat, soit 4... bien sur ;-)
2006-08-25 21:11:40 · answer #8 · answered by alala in bed with csgffr 6 · 0⤊ 2⤋
13 et 4
2006-08-25 21:07:19 · answer #9 · answered by Chlodovechus 3 · 0⤊ 2⤋
PS: c'est bientôt la rentrée, patience.
2006-08-25 21:06:11 · answer #10 · answered by Anonymous · 0⤊ 2⤋