Nombres Premiers?

Question

Pourquoi y en a-t-il une infinité ?

Answer 1

Imagine qu'il n'y en ait qu'un nombre fini.
Dans ce cas, tu prends le plus grand, on l'appelle P
Examine le nombre p!+1 (factorielle p plus un)
Il n'est divisible ni par 2 ni par 3, .... ni par p.

Donc soit il est premier, soit il ne l'est pas mais son plus petit diviseur est un nombre premier qui est plus grand que P.
CQFD !

Edit : pourquoi autant de gens répondent pour ne rien dire ?

Answer 2

Parce qu'il ne peut pas y avoir une quantité finie de nombres premiers !

démonstration par l'absurde :

On suppose qu'il existe un ensemble fini de nombres premiers que l'on notera {2,3,5,7,...,k}, k appartenant à l'ensemble des entiers naturels IN.
On considère le nombre n produit de tous ces nombres premiers auxquels on ajoute 1. On a alors : n=2*3*5*7*...*k+1.
Dans la division euclidienne de n par chacun des nombres premiers le reste est 1.
donc : n n'est divisible par aucun nombre premier.
OR, tout entier naturel strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. => condradiction avec le résultat précédent.

Cette contradiction révèle que l'hypothèse de départ est fausse.
Donc, l'ensemble des nombres premiers est infini.

NB: Done est dans les nuages ! 1 n'est pas premier MAIS 2 l'est (c'est d'ailleurs le seul nombre pair premier).

Answer 3

On raisonne par l'absurde et on suppose écrit l'ensemble des nombres premiers p_1, ... , p_n.

On considère N = p_1 x ... x p_n + 1

N > 2^n + 1 et N > p_n, donc N ne peut être premier. Il y a donc un p_i qui le divise.

On a alors p_i qui divise N et le produit des p_i, donc il divise 1, c'est exclu, car p_i > 1.

Remarque culturelle:

le nombre de nb premiers inférieurs à n est équivalent à n/ ln n.

Answer 4

ils sont une infinite dans l'infinite des nombres.

Answer 5

Parce qu'il y a une infinité de chiffres... ?

Answer 6

parce qu'il existe plusieurs:
1,3,5,7,9 11,etc

Answer 7

parce qu'il y a une infinité de nombres !

Answer 8

C'est facile à démontrer en considérant le nombre
2x3x4x5x6x7x8x9......xn +1 qui est premier ou qui a un diviseur premier plus grand que n.Or n est quelconque.

Answer 9

j'avou ke c'est dificile

Answer 10

car dieu les a crées....