Demostrar que menos por menos da mas....?

Question

A todos nos enseñan la ley de multiplicacion de signos y nos las aprendemos por acto de fe:
Mas por mas da mas
Menos por mas da menos
menos por menos da mas.

Sin embargo nunca nos las cuestionamos.
Es facil demostrar las dos primeras... pero como se puede demostras inductivamente que menos por menos da mas??

Saludos,

Answer 1

Demostración:
-1 es el inverso aditivo del 1, entonces, por definición se verifica

1 + (-1) = 0
Multiplicamos por (-1):
(-1)(1 + (-1)) = (-1)0
Pero 0 por cualquier cosa es 0
(-1)(1 + (-1)) = 0
Por ley de distributivad de la multiplicación en la suma
(-1) + (-1)(-1) = 0
Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
1 + (-1) + (-1)(-1) = 1
Como 1 + (-1) = 0 entonces
0 + (-1)(-1) = 1
Entonces
(-1)(-1) = 1

Ahora, todo número real -p < 0 se puede expresar por (-1)p. Entonces si multiplicamos dos números con signo negativo se verifica

(-p)(-q) = (-1)p(-1)q

Por ley de conmutatividad en la multiplicación eso equivale a
(-p)(-q) = (-1)(-1)pq

Pero (-1)(-1) = 1, entonces
(-p)(-q) = 1pq

pero 1 es el neutro multiplicativo, entonces
(-p)(-q) = pq

Q.E.D.

Answer 2

Ni que hablar: PI tiene la palabra. Excelente, PI!

Answer 3

Impecable la QED de "pi".

Answer 4

Ya somos tres los que votamos por Pi, ha sido una explicación muy clara e impecable. La elegancia no está reñida con las mates, como también ha demostrado...

Answer 5

Muy buena la explicación de PI, excelente

Answer 6

Respecto a la respuesta de loco88, entonces cualquier multiplicacion daria positiva, sin importar cual cuadrante agarres. En realidad, la demostracion es algo complicada, y tiene que ver con la forma como construyes los enteros, y la manera en que defines la multiplicacion. Basicamente, un entero negativo es un elemento del producto cartesiano NXN, en el que cada pareja ordenada te define un numero. Asi, todas las parejas de la forma (5+n,n) representan al entero positivo 5, mientras que (n,5+n) representan al entero negativo -5. Ahora bien, la multiplicacion de enteros se define como (a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc). Si tomas dos enteros negativos, es decir, dos numeros de la forma (n,k+n), donde k es el numero que definira de que entero negativo estas hablando, y los multiplicas, al final te dara un numero de la forma (j+n,n), donde j es el numero resultante de haber multiplicado estos dos numeros negativos. Un ejemplo sencillo:
(-5)(-6) = (0,5)(0,6) = ((0)(0)+(5)(6),(0)(6)+(6)(0)) = (30,0), que es de la forma (30+n,1+n), que es, precisamente, el 30 positivo.

Esa es una demostracion intuitiva de que (-)(-)=+. Repito, sin embargo, que la demostracion formal, es algo complicada (mas aun en un espacio como este), y requiere algunos conocimientos previos de Algebra Superior.

Saludos.

Answer 7

Buena PI, veo que tienes algunas nociones básicas de álgebra.

Answer 8

como que inductivamente?
eso no se puede probar por induccion matematica, eso es lo que yo se.
O, a que te refieres con "inductivamente"?

Answer 9

Analiza una recta numérica.

Answer 10

Es muy fácil, en un plano cartesiano ve hacía los ejes negativos la cantidad que tu deseas, por ejemplo (-5) en el eje x y (-5) en el eje y. Ahora forma un cuadrado con esos puntos, si te das cuenta tienes un área, el área será igual a (-5)*(-5)=25, es lo mismo que si vas hacia el lado positivo de los ejes, sabemos que 5*5 = 25, las 2 áreas que vez son reales entonces se trata de áreas "positiva" (las áreas negativas no existen). Es una forma fácil de comprobar que (-)(-)=+.