Ccomment alors demontrer que racine carré de 2 n'est pas rationnel?

Answer 1

par l'absurde en utilisant le th de Gauss (arithmétique niv TS)

Answer 2

racine(2)=p/q p²=2q² p pair donc multiple de 4 donc impossible car q impair

Answer 3

On va raisonner par l’absurde :
On suppose que √2 est un nombre premier
Alors il exit deux entiers p et q tell que PGCD (p, q)=1 et √2=p/q
↔2*q²=p² (1)
→2\p²
→2\p (2) (car on suppose le contraire alors PGCD (2, p)=1 et on a 2\p² on applique le théorème de Gausse on aura 2\p ce qui est absurde !)
→4\p²
Donc d’après (1) on a 2\q²
→2\q (3)
(2)+ (3) →PGCD (p, q) ≥2 absurde !
Et d’où le résultat.

Answer 4

On raisonne par l'absurde et on écrit sqrt(2) = p/q avec p et q entiers pgcd(p,q)=1

En élevant au carré q^2 = 2 p^2

Alors 2 divise q, donc q = 2 q' avec q' entier.

Alors 2 q' ^2 = p' et p' est divisible par 2

C'est exclu car 2 divise alors p et q alrs qu'ils étaient premiers entre eux.

Answer 5

Raisonnons par l'absurde:
Supposons que racine de 2 (Notons le r2) est rationnel
Ceci suppose qu'il existe a et b relatifs tel que r2=a/b et a/b est irréductible (1)
r2=a/b ça donne 2 = carré de a/carré de b
(notons carré de a c_a, carré de b: c_b ....)
ce qui donne c_a = 2 c_b;
ce qui donne c_a est paire alors a est paire
donc il existe a1 tel que a = 2 a1
de (1) on tire que b=a/r2
Metoons au carré de deux cotés
c_b=c_a/2
c_b=carré(2a1)/2
c_b=4 ca_1/2
c_b=2 ca_1
!!!!! c_b lui aussi est paire
d'où b est paire
alors a/b est réductible par2
Ce qui est contraire à notre hypothèse
Sinon a/b sera réductible par 2 jusqu'à l'infini

Answer 6

Si racine de deux était rationnel,soit a/b son écriture en fraction irréductible (donc a et b sont premiers entre eux).on a alors
a²/b² =2 et l'écriture est irréductible car les facteurs premiers de la décomposition de a² et de b² sont les mêmes que ceux des décompositions de a et b .Or l'écriture irréductible de 2 est 2/1 donc a²=2 et b² =1.Ce qui est impossible avec a entier.

Answer 7

j'ecris v2 pour racine de deux.
supposons par l'absurde que v2 est rationnel. Alors il existe p et q premiers entre eux tels que v2=p/q. C'est a dire 2q²=p². or deux divise 2q² donc 2 divise p². Mais comme 2 est premier, si 2 divise p² c'est que 2 divise p. Donc 4 divise p². Donc 4 divise 2q². Donc 2 divise q². Mais comme 2 est premier, si 2 divise q² c'est que 2 divise q. Donc 2 divise p et q. Ce qui est absurde puisqu'on les a suposés premiers entre eux.

Answer 8

"Les entiers et les fractions positifs et négatifs composent, avec le nombre 0, l'ensemble des nombres rationnels."

"Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique"

Racine de 2 n'est ni un entier, est-ce une fraction ? ou un nombre périodique ?
Cela me rappelle, Aristote sur une plage demandant à un de ces élèves de lui tracer un carré qui face le double de la surface du carré qu'il venait de dessiner dans le sable...
La méthode géometrique me parait possible pour démontrer que la racine carré de 2 n'est pas rationnel, en utilisant le théorème de pythagore ! et les séries géométriques donc le théorème de Gauss, évidement !

Answer 9

pour demontre que racine de 2 est irrationnel il faut utiliser une calculette vou calculez racine de 2 et tu trouves un resultat avec un virgule