Podría alguno explicarme que son las CONJETURA DE POINCARÉ ?

Answer 1

la conjetura de poincare dice,
si tienes una forma de 3 dimensiones que no tiene frontera (es cerrada) y tampoco tiene hoyos entonces tiene que ser la esfera.

suena simple, verdad? pero es un problema que es muy complicado.

Grigoryi Perelman resolvio el ultimo paso para probar la conjetura... es dificil explicar exactamente lo que hizo, pero una de las cosas mas sorprendentes es que uso metodos que nadie se imagino que podrian resolverlo.

Mucha gente, entre ellos varios chinos, han ayudado a rellenar los huecos que Perelman dejo indicados, pero que no resolvio propiamente. Pero el genio es Perelman.

http://en.wikipedia.org/wiki/Poincare_conjecture

Answer 2

La conjetura de Poincaré es una de las hipótesis más importantes de la topología. La conjetura sostiene que la esfera tridimensional es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3, la esfera tridimensional.

Sin embargo, existen otras teorías sobra la llamada "pompita" generada a partir de agua y jabón la cual contradice estrictamente la conjetura de Poincaré ya que demuestra claramente que no todas las esferas son compactas con lo que deja en entredicho la demostración de dicha teoría y pone un punto y aparte en la historia de la matemática de las dimensiones.

Un balón de fútbol, por ejemplo, es una variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy simple. Imagine el lector que coloca una goma elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón. Si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y decimos que es simplemente conexa.

El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera.

Todas las variedades de dimensión n=2 están inmersas en el espacio de dimensión 3. Por analogía, se definen otras variedades de dimensión n estarían inmersas en espacios de dimensión n+1.

Mas técnicamente, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la Topología Geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno de los problemas abiertos más importantes de la Matemática.

Para n=1 la conjetura es trivial y para n=2 ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, a que lo hiciera Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año Stephen Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. Lo irónico es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía, hasta ahora, denodadamente a cualquier demostración matemática.

Henri Poincaré estableció dicha conjetura en 1904, indicando que la esfera tridimensional era única y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartían sus propiedades.

Tabla de contenidos
1 Demostración de la conjetura
2 Referencias
3 Véase también
4 Enlaces externos




Demostración de la conjetura
Un enunciado tan sencillo no ha podido ser resuelto durante un siglo y su demostración es uno de Los siete problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute, aunque el matemático ruso Grigori Perelman anunció haberlo hecho en 2002. Sin embargo, la demostración de Perelman no ha sido publicada y, por tanto, no ha sido sometida a la revisión por pares.

El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración completa [1], basándose en los trabajos preliminares de Perelman (éstos sí publicados), lo que, una vez realizada la validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales.