Hola solo es para llamar la atención, quiciera que me explicaran acerca de las raices negativas, de los números imganinarios y que utilidad tienen en el mundo real...
2006-08-23 09:05:38 · 22 respuestas · pregunta de Anonymous en Ciencias y matemáticas ➔ Matemáticas
Utilización de los números negativos en matemáticas:
Es común estimar que la noción de número negativo nació de necesidades contables (ganancias y pérdidas). Parece que los chinos utilizaron desde el primer siglo de nuestra era los "números negativos". En las tablas de cálculo, a menudo son representados por varillas negras; las varillas rojas representan a los positivos. Sin embargo, aparecen solamente como auxiliares de cálculo; no hay números negativos en los enunciados de los problemas, tampoco los hay en las respuestas. Aparecen también en los matemáticos indios de los siglos VI y VII; por ejemplo, los encontramos en los escritos de Bramagupta (siglo VII). Este matemático enseña la manera de hacer sumas, restas, etc, usando bienes, deudas, la nada.
"Una deuda restada de la nada se convierte en un bien, un bien restado de la nada se convierte en una deuda".
Las reglas de cálculo están dadas, pero nadie se preocupa de justificarlas. Los "números negativos" van a parecer así en el cálculo, y los matemáticos se permitirán a lo largo de la historia practicar cada vez mejor las operaciones, aunque las reglas no estén claramente establecidas. Los números negativos aparecen en Occidente a finales del siglo XV, relacionados con la resolución de ecuaciones, por ejemplo, en los escritos del matemático italiano Cardano (1501 – 1576).
Cardano es de nuevo el primero en percibir la multiplicidad de los valores de la incógnita en las ecuaciones, y su distinción en positivas y negativas. Este descubrimiento que, junto con otro de Vieta, es el fundamento de todos los de Harriot y Descartes sobre el análisis de ecuaciones, este descubrimiento, digo, está claramente contenido en su Ars Magna. A partir del artículo tercero observa que las raíces de un cuadrado son igualmente más y menos el lado del cuadrado, y en el artículo 7 propone una ecuación que, reducida a nuestro lenguaje, sería x² + 4x = 21, y subraya que el valor de x es igualmente +3 o –7, y que cambiando el signo del segundo miembro, el valor se convierte en –3 o 7. Estas raíces negativas las llama falsas. Cardano reparará con esto el error de Pacioli, quien no habiendo mencionado estas raíces negativas, parece no haberlas observado.
J. F. Montucla, Historia de las Matemáticas
Sin embargo en la misma época, otros matemáticos, como el francésVieta, no darán sino las soluciones positivas de las ecuaciones. Las reglas de cálculo se construyen como prolongación de las reglas para los positivos, y a lo largo de la historia los matemáticos practicaron cada vez mejor sus cálculos, pero con una cierta incomodidad, pues se trata, a menudo, de reglas de cálculo referidas a cantidades o magnitudes que se añaden o se quitan, y no de números positivos o negativos. Cardano expresa así sus dudas:
"Es un sencillo consejo no confundir las cantidades defectuosas (ausentes) con las cantidades abundantes. Es preciso añadir entre sí las cantidades abundantes, añadir también entre sí las cantidades defectuosas, y restar las cantidades defectuosas de las abundantes, pero teniendo en cuenta las especies, es decir, no operar más que con semejantes; combinar los números entre sí, lo mismo con los cuadrados, e incluso con los cubos, etc...".
Ars Magna, 1545
Uno se imagina un libro de cuentas en el cual se escribe en una columna los gastos , en otra los ingresos, cuidando sobre todo no mezclarlos. Claireaut (1713 – 1765) da sus reglas en sus "Elementos de Álgebra" de 1746:
"Se preguntará quizás si se puede sumar negativo con positivo, o más bien, si se puede decir que se suma algo negativo. A lo que yo respondo que esa expresión es exacta cuando no se confunde sumar con aumentar. Que dos personas, por ejemplo, sumen sus fortunas, cualesquiera que sean estas, yo diría que esto significa sumar sus bienes; que uno tenga deudas y efectos reales, si las deudas superan a los efectos, significa que lo que tiene es negativo; y la unión de esta fortuna con la del primero disminuirá los bienes de éste, de manera que la suma será menor que lo que poseía el primero, o incluso, enteramente negativa."
Esto pone de relieve la confusión entre el signo de la operación y el signo del número, y la diferencia entre sumar y aumentar, dificultades que se manifiestan desde que se empieza a enseñar el negativo. La distinción no se hará realmente hasta fines del siglo XIX, pero el problema pedagógico persistirá.
Desde la época de Vieta, a principios del siglo XVII, las reglas sobre el cálculo literal serán dominadas perfectamente, pero las letras representan siempre cantidades positivas y nunca negativas. No se puede, por tanto, encontrar como solución de una ecuación, por ejemplo, x = -3; esto sería absurdo.
II Obstáculos para la comprensión de los números negativos.
Ya hemos evocado el problema del cero absoluto y del cero relativo. Se encuentra, por ejemplo, en el "Diccionario de Matemáticas" de J. Ozanam, de 1691, una veintena de tipos de números: enteros, quebrados (fraccionarios), inconmensurables, sordos... Los negativos no son mencionados, Aparecen en la resolución de ecuaciones, pero son calificados de falsas raíces, engañosos, al contrario que los verdaderos, que son los positivos. La raíz falsa es el valor negado de la incógnita de la ecuación. He aquí como Descartes presenta las diferentes soluciones de una ecuación:
Pero a menudo ocurre que algunas de estas raíces son falsas, o menores que nada, como si se supusiese que x designa también el defecto de una cantidad, que si es 5, se tiene que x + 5 µ 0, que si es multiplicada por x3 – 9xx+ 26x – 24 µ 0 se convierte en x4- 4x3 -19xx +106x-120 µ 0 una ecuación en la cual hay cuatro raíces, a saber, tres verdaderas que son 2, 3, 4, y una falsa que es 5.
Descartes, La Geometría, 1637
Observamos que en este texto , Descartes habla de una raíz falsa que es 5. Las soluciones negativas de las ecuaciones plantean problemas a los matemáticos, pues es preciso interpretarlas. He aquí un ejemplo que propone De Morgan (1806 – 1871) en 1831, ante las soluciones negativas de un problema:
"La expresión imaginaria y la expresión negativa –b se parecen en que cada una de ellas, cuando aparece como solución de un problema, indica que hay alguna inconsistencia o absurdo. En lo que respecta a la realidad de su significación, las dos son igualmente imaginarias puesto que 0 - a es tan inconcebible como .
Un ejemplo: un padre tiene 56 años y su hijo 29. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será doble que la del hijo? Sea x el número de años; x verifica: 56+x = 2(29+x). Encontramos que x = -2. Este resultado es absurdo pero si cambiamos x por –x y resolvemos: 56-x = 2(29-x) encontramos que x=2. La respuesta negativa muestra que hemos cometido un error en la primera formulación de la ecuación. Cuando la respuesta a un problema es negativa, cambiando el signo de la x en la ecuación que ha producido este resultado, podemos descubrir que se ha cometido un error en el método utilizado para formular esta ecuación o mostrar que la pregunta planteada por el problema es muy limitada"
Se admite las cantidades negativas en el cálculo, como auxiliares obligatorios, aunque no tengan ningún sentido por sí mismas. Es exactamente la misma posición que la de los imaginarios (llamados en la actualidad números complejos). El malestar se manifiesta particularmente en los escritos de carácter pedagógico, pues los autores no llegan a dar explicaciones satisfactorias.
Remarquemos que hasta el siglo XVII hay pocas ocasiones para manipular "números" negativos que tengan sentido físico. En 1730 Reaumur construye el primer termómetro científico y será preciso esperar aún un siglo para que el gran público se habitúe a temperaturas por debajo de cero. En 1713, Fahrenheit se las arregla para evitar estas temperaturas.
Algunos, a pesar de todo, mantienen opiniones muy prudentes, incluso hostiles ante el uso de cantidades negativas, que no serían definitivamente números. He aquí cómo lo expresa Mac Laurin (1698 – 1746) en su "Tratado de las Fluxiones", en 1742:
"El uso del signo negativo en álgebra da lugar a varias consecuencias, en principio, difíciles de admitir y han ocasionado ideas que parecen no tener ningún fundamento real"
He aquí algunas de estas ideas:
- Pascal (1623 – 1662), en sus "Pensamientos": "Demasiada verdad nos asombra; yo sé que no pueden comprender que, a quien de cero resta cuatro, le queda cero".
- Arnauld, un teólogo amigo de Pascal dice, a propósito de la igualdad : ¿Cómo un número más pequeño podría ser a uno más grande como una más grande a uno más pequeño?
- Wallis (1616 – 1703) afirma: "Siendo a un número positivo, el cociente es infinito; como es más grande, por ser el denominador más pequeño, es más grande que el infinito, y esto siendo inferior a cero, pues el resultado es negativo"
Y he aquí una reacción francamente hostil de Francis Maseres, matemático ingles, en su "Disertación sobre la utilización del signo negativo en álgebra" (1759):
"Sirven solamente para tanto como yo sea capaz de imaginar, para oscurecer toda la doctrina de las ecuaciones y para volver tenebrosas cosas que son en su naturaleza excesivamente evidentes y simples. En consecuencia habría sido deseable que las raíces negativas no hubiesen sido jamás admitidas en el álgebra o que hubiesen sido rechazadas"
Ante tales obstáculos, ven la luz entonces estrategias de evitación:
- En la escritura de ecuaciones: por ejemplo, habrá varios tipos de ecuaciones de segundo grado, que podemos citar con nuestra escritura algebraica contemporánea:
x² + px = q
x² + q = p
x² = px + q
(x² = px no es verdaderamente una ecuación de segundo grado); el cero (0), como solución, tardará mucho tiempo en ser aceptado puesto que significa "nada"; p y q representan números, por lo tanto son por esencia positivos.
- Para la elección de los ejes para referenciar los puntos: o bien no se tiene en cuenta la parte de la curva correspondiente a x o y negativas (por ejemplo, la curva denominada Folium de Descartes, así llamada porque representa la cúbica de ecuación x3+y3=3axy, con x e y positivos, ver figura); o bien se eligen los ejes de manera que a la curva considerada no le correspondan sino coordenadas positivas. Será preciso esperar al siglo XVIII para que Mac Laurin, y sobre todo Euler, expliquen cómo se pueden considerar las coordenadas negativas; se trata de una tímida aproximación a la que será llamada "la recta real".
- Para no tener que aceptar una solución negativa de un problema, casi hasta el siglo XX, si la resolución de una ecuación conduce a una solución negativa, se aconseja rescribir el problema como hemos visto en el texto de De Morgan.
III El problema particular de la regla de los signos para el producto
He aquí lo que escribía el escritor francés Stendhal, en su novela autobiográfica "La vida de Henri Brulard", en 1835, para expresar su desconcierto frente a la regla de los signos:
Mi gran desgracia era esta figura:
Supongamos que RP sea la línea que separa lo positivo de lo negativo, todo lo que está por encima es positivo, así como negativo todo lo que está por debajo; ¿Cómo, tomando el cuadrado B tantas veces como unidades hay en el cuadrado A, puedo yo llegar a hacer cambiar de lado el cuadrado C?Y, siguiendo una comparación torpe que el acento soberanamente monótono y grenoblés de M. Chabert volvía aún más torpe, supongamos que las cantidades negativas son las deudas de un hombre, ¿cómo multiplicando 10000 francos de deuda por 500 francos, este hombre tendrá o llegará a tener una fortuna de 5 000 000, cinco millones de francos?
Existe cierta necesidad de aceptar que negativo x negativo = positivo si se quiere que el conjunto de los cálculos sobre todos los números sea coherente. De hecho, se trata más, como hemos remarcado, de una operación sobre los signos que sobre los números, puesto que un "número" negativo es un número positivo precedido de un signo menos. Cualquiera que sea esta necesidad, manipulada formalmente sin problema, hiere el buen sentido, incluso si algunos matemáticos, entre los más grandes, intentan dar justificaciones, a menudo incompletas. Hasta cierto punto, el problema de la justificación no es quizás el mayor, en la medida en que todo marche bien, y no aparezcan contradicciones. Es preciso llegar a cierto nivel de reflexión epistemológica, o toparse con casos donde las propiedades no funcionan, para necesitar uno fundamentos incuestionables.
Veamos algunas explicaciones:
- La de Stevin:
Se trata de hecho de comparar las áreas de rectángulos tomándolos globalmente, y luego, añadiendo las diferentes partes, llegar a una especie de desarrollo de (a-b)(c-d) donde a, b, c ,d son reales positivos, a la necesidad de escribir que (-b) x (-d) = bd.
- La de Mac Laurin, (1748) adelantada a su tiempo pues formula:
De ahí se podría deducir la regla de los signos tal como se acostumbra enunciar, que consiste en que los signos iguales en los términos de multiplicador y multiplicando dan + al producto, y los signos diferentes dan -. Hemos evitado esta manera de presentar la regla, para ahorrar a los principiantes la indignante expresión – por – da +, que es sin embargo una consecuencia necesaria de la regla: se puede, como hemos hecho, ocultarla, pero no contradecirla o aniquilarla; el lector , sin darse cuenta, ha observado todo el sentido en los ejemplos precedentes; familiarizado con la cosa, ¿podría aún asustarse con las palabras? Si le queda algún escrúpulo, que preste atención a la demostración siguiente que ataca directamente la dificultad.
+a-a=0, así que por cualquier cantidad que se multiplique +a-a, el producto debe ser 0: si lo multiplico por n, tendría por primer término +na, y por segundo –na, puesto que es preciso que los dos términos se cancelen. Así que los signos diferentes dan – para el producto. Si multiplico +a-a por –n, por el caso anterior, tendré –na para el primer término; por tanto tendré +na para el segundo, puesto que es necesario que los dos términos se cancelen: en consecuencia – multiplicado por – da + en el producto.
- La de Euler, (1770), muy ingenua y poco convincente.
Nos queda aún por resolver el caso en que – es multiplicado por – o, por ejemplo, -a por –b. Es evidente en principio que en cuanto a las letras, el producto será ab; pero es incierto aún si el signo que debe ponerse delante de este producto es + o bien -; todo lo que sabemos es que será uno de estos dos signos. Ahora bien digo que éste no puede ser el signo -; pues – a por +b da –ab y –a por –b no puede producir el mismo resultado que –a por +b; en consecuencia tenemos la regla: + multiplicado por + produce +, igual que – multiplicado por –.
Comprendemos bien que hasta aquí se trata de la regla de los signos, puesto que no hay más que cantidades negativas, designadas por un número positivo, y precedido de un signo -. No se trata verdaderamente de dos números negativos.
- La explicación de Cauchy (1821) acentúa esta consideración definiendo una regla que opera sobre los símbolos + y -, no sobre los números negativos.
A partir de estas convenciones, si se representa por A tanto sea un número como una cantidad cualquiera, y hagamos: a=+A , b=-A
Se tendrá : +a=+A , +b=-A-a=-A , -b=+A
Si en las cuatro últimas ecuaciones se sustituye a y b por sus valores entre paréntesis, se obtendrán las fórmulas:
+(+A)=+A ; +(-A)=-A ; -(+A)=-A ; -(-A)=+A
En cada una de estas fórmulas el signo del segundo miembro es lo que se llama el producto de los dos signos del primero. Multiplicar dos signos uno por otro es formar su producto. Es suficiente la observación de la fórmula para establecer la regla de los signos.
Hay una especie de confusión entre el signo – que significa el opuesto; y Cauchy se apoya de hecho sobre el hecho de que el opuesto del opuesto es el número mismo; no hay aquí consideraciones sobre el producto de números negativos.
- Hankel (1867) aborda el problema desde otra perspectiva, puramente formal. Las reglas de la adición y de la multiplicación deben ser las mismas para todos los números reales positivos o negativos. Desde esta perspectiva los negativos tienen el estatus de número, completamente, y distingue de una forma neta el signo – del opuesto y el signo – de la sustracción. Lo que es importante es poder multiplicar opuestos. Su explicación se puede resumir de la manera siguiente:
0 = a x 0 = a x (b + opp b) = ab+ a x (opp b)
0 x (opp b) = (a + opp a) x (opp b) = a x (oppb) + (opp a x opp b)
por lo tanto (opp a) x (opp b) = ab
Se hicieron otras propuestas a principios del siglo XIX por Wessel, Argand, etc., dando una interpretación geométrica de los números complejos, incluyendo los negativos. Todos estos matemáticos eran muy poco conocidos, y sus proposiciones no serán tomadas en serio hasta que los "grandes", como Gauss o Cauchy, las tuvieron en cuenta.
De hecho, el trastorno ocasionado por Hankel se incribe en la ruptura ideológica del pensamiento matemático de finales del siglo XIX, a propósito de las relaciones entre las matemáticas y la realidad física. Hasta entonces, si se inventaban nuevos "números" que chocaban con las ideas recibidas, eran automáticamente calificados de incomprensibles, inconcebibles, absurdos, sordos, irracionales, falsos, imaginarios...
Hankel rechaza esta ideología. Acepta que (-3)²>(2)², pues este resultado es coherente con la deducción formal, y no se preocupa de lo que esto puede tener de chocante con las ideas recibidas. No hay un buen modelo para los negativos, y Hankel rehusa su búsqueda. El importante paso que es posible dar en la época de Hankel, y que no lo era, sin duda, en la de Mac Laurin, consiste en poder considerar los números no como ligados a una realidad física, sino como entes matemáticos que cumplen ciertas relaciones entre ellos.
El número no es ya hoy una cosa, una sustancia que exista independientemente fuera del sujeto pensante o de los objetos que los causan; no es un principio independiente como creyeron los pitagóricos. La cuestión de la existencia de los números nos lleva o bien al sujeto pensante, o bien a los objetos pensados respecto de los que los números expresan relaciones. Los matemáticos consideran imposible en sentido estricto solamente lo que es lógicamente imposible, es decir que implique una contradicción . No es necesario demostrar que se pueden admitir números imposibles en este sentido. Pero si los números considerados son lógicamente posibles, si su concepto está definido de forma clara y distinta, si es por tanto libre de toda contradicción, la cuestión no puede ya ser el saber si existe en el dominio de lo real, en lo que es intuitivo o actualmente dado, un substrato para este número, si existen objetos que puedan dar materia a los números en tanto que son relaciones intelectuales de cierto tipo.
Hamilton, en 1835, en su obra en su obra: Theory of conjugate functions; on álgebra as the science of Pure Time, subrayará esta dificultad para comprender los números y particularmente una propiedad como la regla sobre el signo del producto, es preciso permanecer en un dominio puramente formal, y sustraerse a toda referencia al mundo físico. Al contrario, insiste, que en el dominio de la geometría, es esta referencia al mundo físico lo que nos permite admitir, sin discusión, por ejemplo, el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. El postulado de las paralelas es admitido por todos sin discusión, porque puede "verificarse" físicamente todos los días; la regla de los signos, por el contrario, choca contra el sentido común (buen sentido), por lo tanto demanda una justificación sólida.
Observemos que Hamilton, el inventor de los cuaterniones , construía, en la época en la que escribía lo que precede, una teoría de los pares que permitía una especie de justificación algebraica de todos los "números" y que se vería llevado a abandonar, por los cuaterniones precisamente, una propiedad que parecía estar relacionada con la noción misma de número, a saber, la conmutatividad del producto. Subrayemos también que en esta misma época, entraban en juego las geometrías no euclídeas atacando el postulado de las paralelas. Notemos, por fin, que Hankel fue uno de los que trabajaron sobre las ideas de Grassmann, quien contribuyó enormemente a la construcción de los vectores y los espacios vectoriales, de un modo bastante diferente al de Hamilton.
Estas nuevas consideraciones sobre los números recorrieron su camino muy lentamente, y al principio del siglo XX persiste todavía una desconfianza y cierta dificultad para explicar los números negativos, particularmente en los manuales escolares.
Conclusión en forma de reflexión pedagógica:
Actualmente no es tan fácil enseñar los números negativos. El modelo concreto, bajo la forma "ganancia - deuda" por ejemplo, es una ayuda pedagógica, pero no siempre es posible, incluso puede convertirse en un obstáculo. Esta historia muestra que es posible adquirir cierta facilidad, incluso virtuosismo operatorio, formalmente, sin haber comprendido lo que se maneja. Cuando aparecen las preguntas, entonces se crea el obstáculo. Recordemos las reflexiones de Carnot, quien planteaba dos problemas fundamentales: no es posible que o que (-3)²>(2)², salvo si se abandonan algunas reglas establecidas, entonces los negativos no son "números" como los positivos. Es preciso también convencerse de que las matemáticas sirven para resolver problemas teóricos o abstractos, y no problemas concretos. La dificultad reside en las relaciones entre la realidad física y su modelización matemática.
2006-08-23 09:10:46 · answer #1 · answered by Anonymous · 0⤊ 1⤋
son complejos
imaginarios
no son reales
como los vas a aplicar en reales
no te sirven en el sistema de los reales pa operar
es como preguntar pa q me sirven las negativos en los naturales
es q no se aplica en ese contexto.......
te sales de ai
2006-08-23 13:40:53 · answer #2 · answered by tunga 3 · 0⤊ 0⤋
Mira, los imaginarios son un anillo de continuidad que nacen al extraer raices pares de radicandos negativos. Ocurre que al multiplicar un número negativo por si mismo una cantidad par de veces, el resultado siempre es positivo, entonces, el resultado de una raiz par de un número negativo no puede estar en el campo de los reales.
. La utilidad es enorme, pero explicarsela a un lego en matemáticas es imposible, puedo sin embargo intentar con algo que tal vez hayas estudiado. Cuando sacas las raices de una ecuación de segundo grado cuya gráfica es una parábola, lo que haces es encontrar los puntos en que la gráfica corta al eje "x", cuando una parábola no toca al eje "x" no tiene raices reales, pero si calculas las raices complejas (parte real y parte imaginaria) los resultados son los puntos en que la parábola cortaría a las "x" si la giraras especularmente sobre su vértice. Me explico distinto, si pones un espejo paralelo a las "x" y tangente al vértice de la parábola, la verás invertida y esa parábola invertida de espejo corta a las "x" justo por los puntos de sus raices imaginarias.
. Este problema es aplicable en balística, tiro oblícuo, el proyectil describe siempre una parábola y dada una línea horizontal a una altura cualquiera, las raices reales de la parábola son aquellas en que el proyectil corta, de ida y de vuelta, la línea que hablé. De repente, trazas la línea esa demasiado alta o lanzas el proyectil demasiado lento, entonces nunca va a atravezar la línea, su ecuación del espacio en función del tiempo no tendrá raices reales respecto a la línea de marras, pero si calculas las imaginarias, sabrás los puntos en que el reflejo especular de la trayectoria balística corta esa línea.
Saludos,
ROBERTO
2006-08-23 11:28:41 · answer #3 · answered by Roberto A 3 · 0⤊ 0⤋
se empezaron a uzar cuando al uzar la formula general el discrimante era negativo...asi nacieron los numeros imaginarios, por eso si el descrimanate es negatico, no quiere decir que no hay respuesta, si no que existe una o mas respuestas imaginarias
2006-08-23 10:14:48 · answer #4 · answered by ? 3 · 0⤊ 0⤋
el tratar de explicarte sobre las raíces negativas es un poco complicado ya que te tengo que explicar sobre desarrollo de Laurent, la parte principal (o infinita) y la parte finita, los puntos de singularidad aislada, en fin si es algo enredoso de explicar, y su utilidad son matemáticas se aplican a todo
2006-08-23 09:39:12 · answer #5 · answered by jose antonio n 4 · 0⤊ 0⤋
¡Buena trampita! la unidad básica de los números imaginarios es "i" siendo esta la raíz cuadrada de -1. Se utilizan para operar con números como raíz cuadrada de -9, éste número lo descompones en dos factores que te convenga:
En éste caso en -1.9, por lo tanto tenemor raíz² de 9= 3, y raíz² de -1=i, por lo tanto el resultado final es 3i.
Sirve para poder hacer cálculos cuando tenemos raíces de índices pares y radicandos negativos.
Como todo conjunto tiene muchas propiedades, y espero que alguien te pueda mandar una página o hacer un vínculo con una.
¡Suerte!
2006-08-23 09:33:54 · answer #6 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
lee un libro
2006-08-23 09:12:59 · answer #7 · answered by TOPO 1 · 0⤊ 0⤋
Saludos, te recomiendo que si vas a ahcer una pregunta, pongas algo relacionado en el títuo para que quien sepa del tema te lo pueda respnder. Adios.
2006-08-23 09:11:42 · answer #8 · answered by Ivan Onix 7 · 0⤊ 0⤋
solo entre para ganar 2 puntos jajajaj
suerte
2006-08-23 09:11:30 · answer #9 · answered by gato 3 · 0⤊ 0⤋
jajajajaja muy buena tecnica para llamar la atencion
2006-08-23 09:11:21 · answer #10 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
profunda.......
2006-08-23 09:09:35 · answer #11 · answered by carol 4 · 0⤊ 0⤋